4. Применение метода в экономике

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю [2].

Определённый интеграл имеет широкое применение в экономической теории: вычисление потребительского излишка, восстановление экономических характеристик по их предельным значениям, нахождение дисконтированной стоимости денежного потока, расчет количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени, объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени и т.д.

4.1 Количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени

Пусть u = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег U, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Если f(t) = const, то количество денег U, поступившее в банк за промежуток времени [0, Т], находится по формуле U = f(с) ∙ (T - 0) = f(c)T, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c₁) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] - f(c₂) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(c₁)T/2+ f(c₂)T/2.

Пусть f(t) - произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t₀<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n = T.

Количество денег ∆U_i, поступивших в банк за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислено по формуле ∆U ≈ f(c_i)∆t_i, где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i) [1]. Тогда

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

где U – количесво денег

f(t) – количество денег;

t – время .

т. е. если f(t) - количество денег, поступивших в банк в момент времени t, то есть общее количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t)≥0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t) [2].

4.2 Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени.

Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

Объем продукции ∆Qi произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислен по формуле

Где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i. Тогда

,

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

(13)

где Q – обьем продукции

f(t) – производительност труда в момент времени t;

t – время.

Поскольку f(t)≥0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т] [2].

Задача.

Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решим методом прямоугольников.

h=1, a=0, b=8, n=8.

По формуле (5):

По формуле (13):