А  в кольцевом направлении; б  в осевом направлении

Уравнение равновесия для _t получим, вычленив из цилиндра полоску длиной, равной единице:

или , (19)

где _m  напряжения в кольцевых сечениях или швах. Уравнение равновесия для _m, согласно рис. 7, б, имеет вид:

или . (20)

Сравнивая выражения для _t и _m, легко увидеть, что нормальные напряжения в продольных сечениях или швах цилиндрической обечайки вдвое больше, чем в кольцевых.

Основные типы днищ, применяемых для цилиндрической обечайки, изображены на рис. 8. Напряжения, возникающие в днищах, рассчитываем по нижеприведенным формулам.

Рис. 8. Основные формы днищ:

а  сферическое; б  эллиптическое; в  сферическое с торовым переходом;

г  коническое; д  коническое с торовым переходом

Сферическая оболочка

Для сферы характерно следующее: R_сф = R_t = R_m.

Подставляя эти значения в выражения (18), получим:

. (21)

Если полусфера используется в качестве днища, то R_сф = R_ц. При проектировании сферического днища и выборе его толщины по выражению (21) следует оценить возможность стыковки более тонкого днища с более толстой (вдвое) цилиндрической обечайкой (см. выражение 18) и только после этого принять окончательное решение.

Величина площади боковой поверхности F и объем полусферы V определяются по формулам:

, . (22)

Эллиптическое днище

Учитывая, что толщина днища должна быть равна толщине цилиндрической части сосуда, то максималь­ное значение радиуса сферы в точке А (рис. 8, б) должно быть равно R_сф = 2R_ц (см. выражение 21). Исходя из этого, подберем параметры эллиптического днища.

Уравнение эллипса на плоскости имеет вид:

или , . (23)

Ось Z совпадает с малой полуосью эллипса "с" и с осью цилиндрического сосуда, ось X совпадает с большой полуосью эллипса.

Радиус кривизны эллипса находится по формуле

. (24)

В точке А(0, с), учитывая, что большая полуось эллипса а = R_ц, R_а = 2R_ц, выражение (24) можно переписать в виде

, (25)

откуда следует, что c = h_э = 0,5R_ц (h_э  высота эллиптического днища без учета ее цилиндрической части).

Площадь боковой поверхности F_пэ и объем V_пэ эллиптического днища определяются из следующих соотношений:

. (26)

Сферическое днище с торовым переходом

Этот тип днищ характеризуется простотой формы штампа, так как имеет поверхность, состоящую из сферы радиусом R_сф и тора с радиусом R_т (в отличие от этого радиус образующей эллипса есть величина переменная). Расчет днища на прочность и выбор его толщины производим по формуле (21), при этом принимаем R_сф = 2R_ц (в этом случае S_сф = S_ц). Радиус торового перехода R_т выбираем в пределах (0,25…0,5) R_ц. Принимаем R_т=1/3R_ц. Высоту сферического днища с торовым переходом найдем из следующего соотношения (см. рис. 6, в):

. (27)

Площадь боковой поверхности и объем сферического днища с торовым переходом будем определять, как площадь и объем двух тел шарового сегмента с основанием радиусом R_сег = 2R_цcos и торового перехода с высотой h_т = R_тsin:

;

, (28)

где X=X₀+R_тcos; = R_тsin; Z= R_тsin; = R_тcos; X₀=R_цR_т;

; ; (29)

; . (30)

Коническое днище

Для конуса R_к = r/cos; R_к.макс.= R_ц (здесь r – радиус днища в исследуемой точке,   угол между образующей и осью конуса,  = 60°).

. (31)

Сравнивая (18) и (31), видно, что при одинаковом уровне напряжений в цилиндре и конусе, S_к = S_ц/cos, поэтому этот вид днищ нерационален.

Площадь боковой поверхности и объем конического днища находятся из соотношений

; . (32)

Коническое днище с торовым переходом

Подберем радиус тора R_т таким образом, чтобы конус имел толщину днища равную толщине цилиндра S_ц. Из соотношений (18) и (31) видно, что это возможно при

R_к = r / cos = R_ц (33)

Высота конического днища с торовым переходом:

при =60°, (34)

т.е. днище получается весьма высоким, штамповка такого днища из сплошного листа невозможна (это можно отнести к недостаткам таких днищ, почему они и не находят применения в промышленности). Площадь боковой поверхности и объем конического днища с торовым переходом находятся из соотношений:

;

, (35)

где X = R_цcos; r = R_цsin;  = 60°;

; ; (36)

; . (37)

Плоское днище

Иногда встречаются в листовых, особенно малонагруженных конструкциях, плоские крышки и днища (как правило, это сосуды диаметром до 3 м, работающие при давлении, обычно, менее 0,2 МПа; рекомендуемая толщина днищ 6 мм). Работа плоских днищ зависит от характера нагружения, формы и жесткости их заделки по контуру.

Напряжения и толщина в тонкой плоской круглой пластине, жестко заделанной по контуру и нагруженной равномерно распределенной по площади нагрузкой, взаимосвязаны следующими выра­жениями:

, . (38)

Здесь k - коэффициент, зависящий от жесткости заделки, изме­няется в пределах 0,6...0,8 (в расчете принимаем k =0,7).

Площадь боковой поверхности и объем сосуда с плоскими днищами найдем по формулам:

, . (39)

Для анализа и сравнения всем бригадам следует также рассчитать диаметр, толщину и расход металла на сферический сосуд (без цилиндрической части, вариант VI табл. 3), пользуясь формулами (21) и (22).

Итого, необходимо произвести расчет геометрических параметров сосудов для одного заданного из I V вариантов, а также для VI и VII вариантов, согласно заданию (табл. 3).

Расчет следует закончить изображением исследуемого сосуда (варианты I  V) с указанием всех необходимых размеров.

Для сравнительной оценки эффективности использования той или иной раз­новидности сварного тонкостенного сосуда в "данные расчета" в табл. 3 необходимо внести результаты расчета, полученные всеми бри­гадами. Конструирование сосуда следует закончить сопоставлениями своего варианта с другими вариантами из табл. 3 и сделать выводы о наиболее целесообразной форме сосуда, с точек зрения металлоемкости, технологичности изготовления заготовок и технологичности сборочно-сварочных операций.

Экспериментальное исследование напряженного состояния в сварном тонкостенном сосуде осуществляем в соответствии со следующим заданием.

Задание: Для сварного цилиндрического сосуда со сферическим днищем с торовым переходом (2R_ц = R_сф = 480 мм, R_т = 160 мм, S_д = S_ц = 4 мм) определить напряженное состояние в местах наклейки тензорезисторов, согласно рис. 6, б, и сопоставить с расчетом.

Для измерения напряжений использовать тензостанцию "СИИТ-3". Давление в сосуде создавать с помощью насосной станции универсальной испытательной машины "Р-10".

Места наклейки тензорезисторов обозначены на рис. 6 точками 1...7 и имеют следующее расположение: точка 1  на сферической части днища; точка 2  в месте перехода от сферы к тору; точка 3  в центре торового перехода; точка 4  в мес­те перехода от тора к цилиндру; точки 5, 6 и 7  на цилиндри­ческой части сосуда. В каждой точке сосуда наклеены по два тензорезистора в двух взаимно перпендикулярных направлениях: один из датчиков расположен вдоль меридиана, второй  по кольцу. Это позволяет определить напряженное состояние в местах наклейки датчиков по следующим формулам:

; , (40)

где _t, _m  соответственно величины кольцевой и меридиональной деформаций, измеренные в одной из исследуемых зон (соответствуют расстановке тензодатчиков);

Е  модуль нормальной упругости, для стали Ст3 Е = 2,110⁵ МПа;

  коэффициент Пуассона ( = 0,3).