1. Виды средних: общие, групповые, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое. Структурные средние: мода, медиана.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средние величины подразделяются на:

- математические средние (или степенные), -структурные средние.

Математические делятся на: - средние арифметические, - средние геометрические, - средние гармонические.

Структурные делятся на: - моду,- медиану

В зависимости от хода исходной информации средние арифметические делятся на:

1) если рассматривается однородная совокупность объектов, т.е. все составляющие относятся к одному и тому же типу и складываются под влиянием общих, систематически действующих факторов. Простая арифметич. средняя определяется, если индивидуальные значения признака не повторяются. Пример: размер зарплаты у рабочих одного цеха.

2) Если выборка представлена в виде дискретного ряда распределения и есть частота появления (mi — абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака)

X	M
x1 x2 . xk	m1 m2 . mk

- объем выборки; m_i - веса

- средняя ариф. взвешенная

Чем чаще встречается признак в совокупности, тем ближе будет среднеарифметическое к mi. Пример: найти среднюю оценку в группе студентов в соответствии с частотой их появления.

Среднее геометрическое используется при расчете средних величин относительных показателей. Например: есть k показателей динамики, которые называются темпами роста . Пример: Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,5 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.

Групповая средняя. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для него рассчитываются сначала средние по группам, они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассч-ся для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, - она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. - общая средняя. Среднее значение признака в интервальном ряду вычисляется:

Середина каждого интервала:

Средняя гармоническая применяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то при n вариантах формула:

- простая - взвешенная;

M_i – объемное значение признака ( )

x_i – индивидуальные значения признака в каждой группе.

Пример: Издержки производства и себестоимость единицы продукции по трем заводам характеризуются какими-то данными. Найти среднюю себестоимость по трем заводам.

Мода – значение признака, которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности. Используется при определении объема массового производства обуви, одежды устанавливается тот размер, который пользуется наибольшим спросом. При изучении товарооборота цены постоянно колеблются и регистрируется не средняя цена на тот или иной товар, а берется модальная цена, по которой продается максимальное количество товаров того или иного вида.

1) Преобразовать дискретный ряд в интервальный

2) Определить модальный интервал (интервал с наиб. частотой) (i)

3) Находим частоту модального интервала M_mo

4) Находим частоту предмодального интервала M_mo-1

5) Находим частоту постмодального интервала M_mo+1

x_mо – нижняя граница модального интервала

i_mо – величина модального интервала

Полигон распределения частот (для дискретного ряда). На оси X откладывают значения варьирующего признака, а на оси Y - частоты.

Гистограмма (для интервального ряда).

На оси X указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (mi).

Медиана – это показатель центра распределения. Она делит вариационный ряд пополам. Медиану используют при планировании размещения пунктов по заготовке сельскохозяйственной продукции (мясокомбинаты, элеваторы) с тем, чтобы сумма расстояний была минимальной при размещении оборудования общего пользования на предприятии.

Дискретный ряд:

1) Нечетное количество членов ряда

Ме = x₃ ;

2) Четное количество членов ряда

Для нахождения медианного интервала нужна:

1) Накопленная частота; 2) Относительная накоплен. частота (W_нак)

Медианным интервалом является первый интервал, в котором накопленная частота превышает половину всех частот.

– нижняя граница медианного интервала;

– сумма накопленных частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала;

– величина медианного интервала.

P (x<Me)= P (x>Me)=1/2

В вариационном ряду половина всех членов вариационного ряда принимает значение меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана

Кумулята строится по накопленным частотам (по оси Y) и значениям признака (по оси X). Определение медианы по кумуляте: последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси X, до пересечения ее с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Функция распределения: F(x)=P(X<x)