Перехід від зображень до оригіналів.

В операторному методі розрахунку перехідних процесів у складних електричних колах необхідно вміти знаходити функції по відомому зображенню. Існують три шляхи вирішення цієї проблеми.

1. Обернене перетворення Лапласа

.

Цим прийомом, як правило користуються, після ознайомлення з правилами інтегрування комплексних функцій на комплексній площині.

2. Перехід від оригіналу до зображення і навпаки здійснюється за допомогою таблиць відповідностей, що заздалегідь складені для найбільш характерних функцій.

3. Використання формул розкладання (формул Хевісайда).

Зупинимося детально на третій позиції. Нехай зображення є правильна дріб, тобто

.

Згідно однієї із центральних теорем алгебри правильну дріб можна подати у вигляді суми скінченої кількості простих дробів

,

де корені многочлена , тобто . Знаємо, що . Скориставшись лінійністю перетворення Лапласа, можемо записати, що

.

Як знайти ? Помножимо праву та ліву частини () на і знайдемо границю при

.

Скористаємося правилом Лопіталя для знаходження

.

Отже

,

і, нарешті

.

Формула () називається першою формулою Хевісайда.

Друга формула Хевісайда відноситься до випадку коли многочлен знаменника має один нульовий корінь. Тоді , де у многочлена відсутні нульові корені. Тоді

/

Звідки

, ,

де - корены многочлена . Отже

.

Третя формула Хевісайда відноситься до випадку, коли поліном має кратні корені. Нехай має кратні корені, тобто:

,

причому , де - порядок многочлена . Тоді

,

де .

На практиці не рекомендують користуватися третьою формулою Хевісайда (), оскільки вона насправді громіздка та складна. А пропонують для знаходження коефіцієнтів йти шляхом, яким ми користувалися при отриманні першої формули Хевісайда. Наприклад, необхідно знайти оригінал від

.

Розкладемо на прості дроби

.

Помножимо ліву та праву частини() на і покладемо : , звідки .

Помножимо ліву та праву частини() на і покладемо . Отримаємо .

Якщо помножимо ліву та праву частини на , і знайдемо значення від похідної лівої та правої частин в точці , то отримаємо значення коефіцієнта : .

Друга похідна від попереднього виразу в точці дає можливість знайти : .

Отже

.

Скориставшись табличними даними, знайдемо оригінал

.

Особливості розрахунку складних кіл операторним методом.

1. Нульові початкові умови.

Залежність між збудженням та реакцією кола (струм у вітці, або напруга на ділянці кола) в загальному випадку описується диференціальним рівнянням

Застосуємо інтегральне перетворення Лапласа до лівої та правої частин, і врахуємо нульові початкові умови. Оскільки в результаті інтегрального перетворення Лапласа ,

то диференціальне рівняння переходить в алгебраїчне співвідношення

.

Звідки операторний коефіцієнт передачі

.

Саме такий прийом застосування операторного методу і був впроваджений для полегшення знаходження розв’язку диференціальних рівнянь.

При запропонованому підході приємно мати справу з готовим диференціальним рівнянням. Проте , як показує практика, саме значні складнощі виникають при побудові диференціального рівняння для складного електричного кола.

Тому при дослідженні перехідних процесів операторним методом рекомендують інший підхід, а саме - від звичайного кола переходять до операторного за правилами:

Звичайне коло	Операторне коло
Резистор з опором	Резистор з опором
Індуктивна котушка з індуктивністю	Резистор з опором
Конденсатор з ємністю	Резистор з опором
Джерело енергії	Зображення джерела енергії

Перехід від оригіналів до зображень для джерел електромагнітної енергії здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа. Наприклад, якщо в мить часу до кола підключається джерело постійної ЕРС , то , а .

Звідки виникли такі правила? Застосовуючи інтегральне перетворення Лапласа до компонентних рівнянь при нульових початкових умовах отримаємо алгебраїчні співвідношення між зображеннями, яким можна надати форму закону Ома притаманну резисторам (закон Ома в операторній формі), а коефіцієнти пропорційності і будуть відігравати роль операторного опору (задача синтезу в операторній формі).

Ненульові початкові умови. Якщо до комутації струми індуктивних котушок та напруги на конденсаторах мали певне значення, то перехід від звичайного кола до операторного здійснюється за дещо іншими правилами. Резистор звичайного кола замінюють на резистор операторного кола опір резистора при цьому не змінюється. Компонентне рівняння для індуктивної котушки в звичайному колі . Нехай , тоді компонентне рівняння для індуктивної котушки в операторному колі буде мати вигляд

.

На основі даного рівняння синтезуємо операторну схему яка і буде еквівалентом індуктивної котушки в операторному колі. Рівняння () відображає другий закон Кірхгофа для кола, що складається із послідовно увімкнених резистора з опором та джерела ЕРС у якого , причому напрямок ЕРС джерела співпадає з вибраним напрямком струму.

Для конденсатора - . Звідки . Неважко впізнати, що дане рівняння відображає узагальнений закон Ома для кола, що складається із послідовно увімкнених резистора з опором та джерела ЕРС з . причому напрямок ЕРС протилежний вказаному напрямку струму. Таке коло і буде еквівалентом конденсатора в операторному колі. Отже перехід від звичайного кола до операторного при не нульових початкових умовах здійснюється за такими правилами:

Звичайне коло

Операторне коло

П

ерехід від оригіналів до зображень для джерел електромагнітної енергії здійснюється як і при нульових початкоаих умовах за допомогою прямого перетворення Лапласа.

Із лінійності законів Кірхгофа випливає, що для зображень струмів, напруг та ЕРС мають місце аналогічні закони Кірхгофа в операторній формі

.

Проте закони Кірхгофа в операторній формі мають алгебраїчну форму, і початкові умови вже присутні в самих рівняннях. Скориставшись методом рівнянь Кірхгофа можемо знайти зображення реальних струмів в операторому колі. При цьому, оскільки перетворення лінійні, то для вирішення задачі аналізу в операторному колі можна користуватися принципом суперпозиції, а отже і методом контурних струмів, методом вузлових потенціалів, методом еквівалентного генератора, методом еквівалентних перетворень.