- •Перехідні процеси у лінійних колах.
- •7.1.Класичний метод дослідження перехідних процесів.
- •7.2.Перехідні процеси у найпростіших колах першого порядку.
- •6.4. Перехідні процеси у колах другого порядку.
- •6.5.Основи операторного методу.
- •Перехід від зображень до оригіналів.
- •Особливості розрахунку складних кіл операторним методом.
- •Операторний метод розрахунку перехідних процесів.
- •Увімкнення гармонічної ерс на вхід вибірного кола. Операторний метод.
6.5.Основи операторного методу.
Перетворення Лапласа та його основні властивості.
В основі операторного методу дослідження перехідних процесів лежить інтегральне перетворення Лапласа. Нехай функція дійсної змінної визначена при і задовольняє умовам:
На будь якому скінченому проміжку функція неперервна, за виключенням, можливо, декількох точок розриву першого типу.
при .
Існують такі постійні та , що для усіх виконується нерівність
.
Перетворенням Лапласа функції називається функція комплексної змінної
. (7.21)
Функцію , що задовольняє умовам 1- 3 називають оригіналом, а її перетворення Лапласа , тобто - зображенням функції . Зв’язок між оригіналом та його зображенням умовно позначатимемо так:
.
До речі, як правило, математичні моделі реальних сигналів задовольнять умовам 1- 3 .
Зупинимося лише на тих властивостях інтегрального перетворення Лапласа, які будуть використовуватися при розрахунку перехідних процесів.
Лінійність. Формула (7.21) лінійна відносно підінтегрального множника , отже перетворення Лапласа лінійне, тобто якщо , то - зображення лінійної комбінації оригіналів є лінійною комбінацією зображень.
З
Рис.7. 8
.
Отже
Рис.7. 9
Це єдина із багатьох формул перетворення Лапласа яку доцільно запам’ятати.
Отриманий результат дає можливість знайти зображення функції включення (функції Хевісайда) показаної на рис.7.9. Оскільки , то
.
Очевидно, що
.
.
.
.
.
Значну кількість зображень різноманітних функцій можна знайти у спеціальній літературі []. Розширити їх число можна з допомогою теореми про зміщення та теореми про запізнення.
Теорема про зміщення стверджує, що якщо то . Насправді
. Теорема доведена.
Теорема про запізнення установлює зв’язок між зображеннями двох функцій (сигналів) зсунутих у часі : якщо то . Доведення теж елементарне.
Зображення похідної від функції.. Нехай . Знайдемо зображення від :
. Застосовуючи інтегрування по частинам, отримаємо:
. (7.23)
Зображення від другої похідної:
.
При нульових початкових умовах:
;
;
.
Зображення інтегралу від функції.. Нехай . Знайдемо зображення від . Позначимо . Очевидно, що , а . Якщо то скориставшись формулою (7.23) отримаємо: . Звідки
. (7.24)
Приклад 2. Знайти зображення функції .
Рішення . Оскільки , то використовуючи властивість лінійності перетворення Лапласа і той факт , що , отримаємо
.
Отже .