Лабораторная работа № 1
Тема: Выполнение матричных операций в среде Mathcad.
Цель: Рассмотреть возможности применения пакета Mathcad при решении теоретических и практических задач линейной алгебры, в которых используются матричные операции.
Порядок выполнения работы:
1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса линейной алгебры и необходимые для выполнения работы.
2) Рассмотреть примеры выполнения операций над матрицами в пакете Mathcad в Приложении А.
3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.
4) Написать отчет (в свободной форме).
Основные теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.
Определение
1. Матрицей
называется совокупность
чисел, расположенных в виде прямоугольной
таблицы
,
содержащей
строк и
столбцов.
Кратко
матрицу
записывают в виде
.
Числа
составляющие данную матрицу называют
ее элементами. Если
то матрица называется квадратной.
Определение 2. Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным – со знаком «минус».
Определение 3. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Над матрицами определены пять действий: сложение, умножение на элементы основного поля (или кольца), умножение матрицы на матрицу, транспонирование, нахождение обратной.
Определение
4. если
для матрицы А
существует матрица, обозначаемая
,
обладающая свойством
,
то матрица
называется обратной для матрицы А.
Условия применимости и размеры результата поясняются следующими схемами:
Эти действия обладают свойствами:
1
2
3
O:
4
5
6
7
8
Это – свойства векторного пространства, т.к. матрицы фиксированных размеров образуют векторное пространство.
9
10
11
12
13
Е
14
15
16
17
18
19
20
21
Задания для самостоятельного выполнения:
В заданиях данной лабораторной работы N – номер варианта.
1. Проверить выполнение свойств 1-8 для матриц а, в, с и чисел , :
,
,
,
,
.
2. Среди указанных ниже матриц А, В, С, D, F и G найти те, которые удовлетворяют свойствам 9-13 и проверить выполнение этих свойств ( , ):
,
,
,
,
,
,
.
3.
Проверить выполнение свойств 14-17 для
матриц А и В. Будет ли выполняться
равенство
?
,
.
4. Среди указанных ниже матриц найти перестановочные и проверить для них выполнение следующего равенства
,
где
,
,
,
,
5. Для каких матриц выполняются следующие утверждения:
а)
б)
?
,
,
,
6.
Найти значение многочлена
от матрицы Y,
если
,
,
7. Для данных квадратных матриц найти обратные матрицы, если такие существуют, и сделать проверку. Проверьте выполнимость свойств 18-21.
а)
б)
8.Решить матричные уравнения и сделать проверку:
а)
б)
Найти
и
.
Сделать вывод.
,
,
,
Вычислить определитель
посредством умножения его на определитель
:
,
,
где
,
,
,
11. Найти максимальное число линейно независимых столбцов матрицы R:
Найти линейно независимые строки матрицы T и показать, что данные строки линейно независимы:
Лабораторная работа № 2
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Цель: Изучить возможности применения пакета Mathcad при решении задач, в которых необходимо решать системы линейных уравнений.
Порядок выполнения работы:
1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса линейной алгебры и необходимые для выполнения работы.
2) Рассмотреть примеры решения систем в системе Mathcad в Приложении Б.
3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.
4) Написать отчет (в свободной форме).