
- •Задачи, приводящие к понятию производной
- •Определение производной функции и её обозначения
- •Механический, физический и геометрический смысл производной
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора
- •Исследование функции на монотонность
- •Исследование функций на экстремум
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика.
Исследование функций на экстремум
Точка
называется
точкой
максимума (минимума)
функции
,если
существует такая окрестность точки
,
что для всех
из
этой окрестности выполняется неравенство
,
.
На рис.9 изображены точки:
-точка
максимума,
-
точка минимума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема
1.
Необходимое условие экстремума функции.
Если дифференцируемая функция
имеет
экстремум в точке
,
то ее производная
в этой точке равна нулю.
Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси .
Из теоремы 1 вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное
неверно: не при всяком значении
,
при котором производная обращается в
нуль, обязательно существует экстремум.
На рис.10 изображен график функции, у
которой при
производная
равна нулю (касательная параллельна
оси
,
но в этой точке функция не имеет
экстремума.
Рассмотрим точки в которых функция не является дифференцируемой (то есть не существует конечной производной).
В таких точках функция может иметь минимум или максимум, а может не иметь ни того, ни другого.
Например, функция не имеет производной в точке , но в этой точке данная функция имеет минимум. (рис.11).
Функция
не
имеет конечной производной в точке
(касательной
является ось
).
В этой точке функция не имеет ни максимума,
ни минимума. (рис.12).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в точках, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема 2. Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Правило исследования функции на экстремум:
1. Найти критические точки функции , то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
2. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.
3. Определить знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек.
4.В соответствии с достаточными условиями экстремума выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
Пример.
Найти точки экстремума функции
и
значения функции в этих точках.
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.
Находим
производную данной функции и приравниваем
ее к нулю:
.
Решая это уравнение, получаем
и
-
критические точки (необходимое условие
экстремума
выполнено).
Проверяем
выполнение достаточного условия
экстремума. Рассмотрим точку
.
Слева от этой точки
,
например,
,
справа от нее
,
например,
.
Следовательно, достаточные условия
экстремума выполняются, и точка
является
точкой минимума. Находим значение
функции в точке минимума:
.
Теперь рассмотрим точку . Слева от этой точки , справа , Следовательно, достаточное условие экстремума не выполняется и точка не является точкой экстремума.
Ответ:
Вопрос.
Производная функции
равна
.
Какая из критических точек не является
точкой экстремума?
Начало формы
|
все точки являются точками экстремума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|