Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим сложную функцию , где . Найдем производную этой функции по переменной .

.

Или .

Производная функции называется логарифмической производной функции . Логарифмическая производная применяется при вычислении производных показательно-степенных функций.

Определение. Показательно-степенной функцией называется функция вида , где и – функции от переменной .

Примеры показательно-степенных функций: , , .

Найдем производную показательно-степенной функции . Предварительно прологарифмируем правую и левую части уравнения.

.

(при этом использовали свойство логарифмов )

Дифференцируем обе части по переменной , при этом считаем функцию сложной функцией:

,

.

Выражаем и, учитывая, что , получаем формулу для вычисления производной показательно-степенной функции:

.

Пример. Вычислить производную показательно-степенной функции .

Решение.

Логарифмируем обе части уравнения: , затем преобразовываем равенство, используя свойство логарифмов: ,и дифференцируем обе части по переменной :

.

В левой части вычисляем логарифмическую производную функции , а в правой части находим производную произведения двух функций. Поэтому:

,

.

Выражая и учитывая, что , получаем производную исходной функции:

.

Вопрос. Производная функции имеет вид:

Начало формы

	Производная обратной функции Теорема.Если функция строго монотонна на интервале и имеет ненулевую производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную , в соответствующей точке, определяемую равенством или . Пример. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную. Решение. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найдем производную . Функция, обратная к исходной, имеет вид: . Находим производную обратной функции: . Следовательно, Получили, что . Вопрос. Дана функция . Производная равна Начало формы 1/ey+2y Конец формы Дифференцируемость функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную, то есть . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми функциями при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , а второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Поэтому первое слагаемое называется главной частью приращения функции или дифференциалом функции в точке . Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде: где некоторое число, не зависящее от , причем , а при , то есть . Понятия дифференцируемости функции в точке и существования производной в этой же точке тесно связаны между собой. Для функции одной переменной эти понятия являются равносильными. Теорема 1.Для того чтобы функция , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Определение 2. Функция называется дифференцируемой на отрезке , если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка. Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, то есть не иметь конечной производной в этой точке. В точках разрыва (точках, в которых функция не является непрерывной) функция не может иметь производную, поэтому в таких точках функция не дифференцируема. Пример 1. Функция имеет точку разрыва , следовательно, в этой точке она не дифференцируема. Пример 2. Функция не имеет точек разрыва, но в точке не имеет конечной производной, так как . Следовательно, в точке функция является непрерывной, но не дифференцируемой. Вопрос. Какая из этих функций не дифференцируема в точке ? Начало формы Определение дифференциала функции Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение можно записать в виде: , где при , . Первое слагаемое линейно относительно и является главной частью приращения функции . Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции и обозначается или (читается "дэ игрек"). Дифференциалом независимой переменной называется приращение этой переменной . Поэтому дифференциал функции равен: . Таким образом, . Пример. Вычислите дифференциал функции . Решение. Так как дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, то . Инвариантность формы первого дифференциала Пусть даны две дифференцируемые функции и , образующие сложную функцию . По теореме о производной сложной функции можно написать: Умножив обе части этого равенства на , получаем: . Но и . Следовательно, . Таким образом, первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала. Вопрос. Дифференциал функции равен: Начало формы dy=4x Геометрический смысл дифференциала функции Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке , если приращение аргумента есть величина . Приращение функции есть приращение самой функции в точке при таком же приращении аргумента . (рис.2) Пример. Найти дифференциал и приращение функции в точке , если приращение аргумента есть . Решение. Приращение функции равно: . Дифференциал функции равен : . Если и то получим: и . Ответ: . Вопрос. Разность между дифференциалом и приращением для функции  в точке при равна Начало формы Конец формы Приближенные вычисления с помощью дифференциала Как можно заметить из предыдущей задачи, погрешность при замене на небольшая. Во многих случаях ее можно считать малой по сравнению с приращением функции. Поэтому в приближенных вычислениях часто пользуются приближенным равенством или , из которого получается формула для приближенных вычислений с помощью дифференциала функции: . Пример. Вычислить приближенно . Решение. По формуле для приближенных вычислений имеем: . Примем , . Тогда . . Таким образом, при малых значениях аргумента . Вопрос. Значение приблизительно равно: Начало формы Конец формы Конец формы Конец формы

Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Производная этой функции представляет собой также функцию от переменной . Дифференцируя эту функцию, получаем вторую производную от функции .

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом или :

.

Выражение читается как "игрек два штриха".

Так, например, если , то , .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается или (читается "эф три штриха от икс").

Производная от производной третьего порядка называется производной четвертого порядка или четвертой производной и так далее. Начиная с четвертой производные могут обозначаются римскими цифрами: , и т.д.

Производная -порядка обозначается символом или , а вычисляется по формуле

Правила дифференцирования производных высших порядков следующие:

.

.

Пример: Вычислите производные для функции .

Решение: .

.

Вопрос. Производная четвертого порядка для функции равна

Начало формы

Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция , дифференциал этой функции есть некоторая функция от , при этом будем считать, что от зависит только , приращение аргумента от самого значения аргумента не зависит.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается . В силу определения дифференциала имеем:

.

Так как от не зависит, то при дифференцировании выносится за знак производной:

.

Принята также запись дифференциала без скобок: .

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала и так далее:

, ...

.

Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциала функции соответствующего порядка к дифференциалу аргумента, возведенного в такую же степень:

.

Вопрос. Выберите правильное обозначение второго дифференциала функции :

Начало формы

Производная функций, заданных в параметрическом виде

Даны два уравнения:

,

где каждому значению соответствует по одному значению и . Если рассматривать значения и как координаты точки на координатной плоскости , то каждому значению , будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда изменяется от до , то эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения:

называется параметрическим уравнением этой кривой, называется параметром, а способ задания кривой этими уравнениями называется параметрическим.

Пример.

Дана окружность с центром в начале координат и радиусом (рис. 3).

Пусть - это угол, образованный радиусом этой окружности, и осью . Тогда координаты любой точки окружности выражаются через параметр следующим образом:

Причем изменяется от 0 до . Это и есть параметрическое уравнение окружности. Возводя в квадрат оба уравнения и складывая их, получаем каноническое уравнение окружности:

.

Для того чтобы найти производную функции, заданной в параметрическом виде, используется формула:

или .

Для нахождения второй производной параметрической функции используется следующая формула:

.

Пример. Функция задана параметрическим уравнением: .

Найти производную функции при любом значении параметра tи при . Найти угловой коэффициент касательной в точке, соответствующей значению параметра .

Решение.

- производная заданной функции при любом значении параметра .

Находим значение производной при :

Угловой коэффициент касательной в точке, соответствующей значению параметра , равен значению производной при . Следовательно, . Так как угловой коэффициент касательной равен нулю, то касательная, проведенная к окружности в этой точке, параллельна оси .

Вопрос. Производная функции, заданной параметрическим уравнением , равна:

Начало формы

	1

Теорема о корнях уравнения (теорема Ролля)

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает на концах отрезка равные значения . Тогда существует по крайней мере одна точка на интервале , для которой .

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует хотя бы одна точка , в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.4).

Пример 1. Необходимо проверить, справедлива ли терема Ролля для функции на отрезке , и найти соответствующее значение .

Решение. Функция непрерывна на этом отрезке и дифференцируема на интервале . Кроме того, , поэтому теорема Ролля для данной функции на данном отрезке справедлива. Найдем значение , для которого , из уравнения , то есть . Поскольку найденная точка принадлежит интервалу , то - искомое значение. Касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси абсцисс (рис.5).

Пример 2. Проверить, справедлива ли теорема Ролля на отрезке для функций и .

Решение. Функция имеет точку разрыва в точке , принадлежащую заданному отрезку, поэтому на этом отрезке она не удовлетворяет теореме Ролля (рис.6).

Рассмотрим на этом же отрезке функцию . Эта функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка равные значения, но в точке она не дифференцируема, поэтому она не удовлетворяет теореме Ролля на заданном отрезке (рис.7).

Вопрос. Какая функция удовлетворяет теореме Ролля на отрезке ?

Начало формы