9.2. Распределение Максвелла

Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859).

Рассмотрим физический смысл закона Максвелла и некоторых его следствий.

• Представим себе

- пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций отдельных молекул.

- Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора .

- Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии.

В

Рис.3.

следствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от ).

• Пусть макросистема (газ) содержит N молекул.

• Выделим в некоторой точке — конце вектора — малый объем

(рис. 3, где ось направлена на нас).

Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или другими словами,

1. вероятность dP того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора , попадет в этот объем, можно записать так:

, (2)

где имеет смысл объемной плотности вероятности.

3. Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале ( ),

есть , (3)

где — функция распределения по .

Выражение (3) — это по существу интеграл (2) по и , т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до + d .

3. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах ( , +d ), ( и ( ) являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать

(4)

Из соображения равноправия осей , и ясно, что функции φ должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (4) с (2), находим

. (5)

После преобразований (с учетом условия нормировки) получаем

,

аналогичный вид имеют функции и .

И тогда согласно (5) . (6)

рис. 4. График функции

Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале ( , +d ).

Функция (6) нормирована на единицу,

т.е. площадь под кривой

Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.

9.3. Распределение молекул по модулям скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, мо­дуль скорости которых заключен в интервале ( ).

р ис. 5. Таким молекулам

• соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и .

• Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е.

• объемная же плотность вероятности во всех точках слоя одинакова. Рис 5 рис. 6

• вероятность попадания в этот слой согласно теореме сложения вероятностей,

• Величина характеризует искомую вероятность, т.е

.

Учитывая (6), получим: . (7)

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости.

Вид функции показан на рис. 6.

Эта функция тоже нормирована на единицу; .

На рис.6 пунктиром представлена “конструкция” (сомно­жители) функции , один из сомножителей которой .

За­метим, что в отличие от площадь под кривой физиче­ского смысла не имеет.

Полученные Максвеллом распределе­ния по скоростям не зависят

• ни от структуры молекул,

• ни от того, как они взаимодействуют друг с другом.

Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состо­яниям вещества.

Рассмотрим характерные скорости. К ним относятся три скорости:

1. наи­более вероятная ,

2. средняя ,

3. среднеквадратичная .