4.3. Квантовые свойства атомов, молекул и твердых тел Основные формулы и законы

Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид:

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …), – орбитальное (азимутальное) квантовое число ( = 0, 1, 2, …, (n – 1)), m – магнитное квантовое число (m = 0, ±1, ±2, …, ± ), - радиальные функции, а - сферические функции.

Квантовые числа n, , m являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.

Квантовое магнитное спиновое число m_s (m_s=±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.
Принцип Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел n, , m, m_s).
Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶ 3d¹⁰…, где числа (n = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …, а буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу ( = 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f - состояния (электронные подоболочки) атома, числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.
Закон Мозли

где – характеристические частоты спектра; R=3,29∙10¹⁵1/с – постоянная Ридберга; z – заряд ядра атома в относительных единицах; σ - постоянная экранирования; m и n – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

При σ=0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов

При σ = 0 и z = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.

Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулярного спектра

= (∆ W_эл. + ∆ W_кол. + ∆ W_вр.),

где ∆W_эл., ∆W_кол. и ∆W_вр.– разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней.

Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

где - нулевая энергия; - постоянная Планка; - круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов

где – молярная газовая постоянная; = – характеристическая температура Эйнштейна.

Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

( T << ),

где = - характеристическая температура Дебая.

Распределениесвободныхэлектроноввметаллепо энергия при 0 К

где - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от Е до Е + dЕ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при Е < Е_F (Е_F – энергия или уровень Ферми).