
- •Оглавление
- •1. Методы составления дифференциальных уравнений движения колебательных систем. Метод Лагранжа.
- •Метод Лагранжа.
- •2. Параметрические колебания с учетом малых нелинейностей. Уравнение параметрона.
- •3.Метод д’Аламбера. Энергетический метод.
- •4 Определение методом Боголюбова в первом приближении законов изменения амплитуд и фаз решения уравнения Матье.
- •7. Вынужденные колебания одной степенью свободы при отсутствии резонанса. Способы определения частных решений.
- •8. Уравнение Матье с демпфированием. Определение границ области неустойчивости в первом приближении. Условие существования резонанса.
- •9. Резонанс без демпфирования в системе с одной степенью свободы. Биения.
- •10.Второй параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.Д.У. Для амплитуды и фазы решения во втором приближении.
- •11. Собственные частоты и формы колебаний системы с двумя степенями свободы. Главные координаты.
- •Переход к главным нормальным координатам.
- •12. Основной параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.Д.У. Для амплитуды и фазы решения в первом приближении.
- •23.Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободы. Резонанс. Динамическое демпфирование.
- •24.Метод степенных рядов.
- •25.Колебания с линейным демпфированием в системе с конечным числом степеней свободы. Условия разделения сду при переходе к главным координатам
- •27. Колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс в системе с линейным демпфированием.
- •28. Метод Бубнова-Галеркина.
- •29. Метод нормальных колебаний. Условия ортогональности. Решение ищем в виде:
- •30.Параметрические колебания под действием высокочастотного параметрического возбуждения. Условие динамической устойчивости перевёрнутого маятника.
27. Колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс в системе с линейным демпфированием.
Гармонический осциллятор
до φ=300 sinφ≈φ
Демпфер
Резонанс- особое состояние колебаний системы, находящейся под действием гармонической вынуждающей силы, при которой частота вынуждающей силы равна частоте собственных колебаний.
В случае системы с трением амплитуда при резонансе ограничена. Максимум амплитуды расположен на АЧХ левее точки резонанса, а сдвиг фаз между f(t) и x(t) не изменяется – π/2⇒ критерием резонанса следует считать именно сдвиг фаз между f(t) и x(t).
28. Метод Бубнова-Галеркина.
Из метода Рица
,
где
–
ортогональные функции.
если
решение
3 Этапа решения:
1) Аппроксимация форм колебания
2) Переход к системе СОДУ
3) Решение СОДУ
Пункт №1:
(1)
(2) – удовлетворяет Гр.У. и Н.У.
(1) – упрощается (отбрасываем трение и правую часть)
(3)
(4)
(4) → (3)
(5)
– неизвестная форма;
(6), где
–
неизвестная константа.
– ортогональные функции, удовлетворяющие
всем Гр.У.
(6) → (5)
(7)
Домножаем на
и интегрируем
:
(8)
(8) представляет собой САУ.
(10)
Пункт №2: Переход к СОДУ
(10) → (2)
(11)
(11) → (1)
(12)
Домножаем на
и интегрируем
:
(13)
Пункт №3: Решение СОДУ (13) с заданными начальными данными.
Алгоритм метода Бубнова-Голеркина:
29. Метод нормальных колебаний. Условия ортогональности. Решение ищем в виде:
Уравнение нормальных колебаний (УНК):
(1)
(2)
Подставляем в (2)
(3)
-
решение уравнения нормальных колебаний
(удовлетворяет всем граничным условиям).
Если EI=const,
=const,
то
-
балочная функция.
Сi – находят из граничных условий.
Условия ортогональности:
Если
:
1. Решение уравнения нормальных колебаний.
2. Удовлетворяет граничным условиям.
То - ортогональные функции.
Пусть
,
- решения УНК, удовлетворяющие граничным
условиям.
Вычтем
из (5.1) – (5.2):
Если
i=k, то
Если i
k,
то
Выполняется условие ортогональности.
М-ортогональность:
К-ортогональность:
Вынужденные поперечные колебания стержня:
(1)
(2)
-
приближённая функция времени
-
решение уравнения УНК (удовлетворяет
всем граничным условиям), i=1…N.
подставляем в (1):
(3)
Нормализация:
(3) умножим на Wj
проинтегрируем по dx на интервале 0-l
,
Где
,
Колебания балки с трением:
Внешнее трение:
Внутреннее демпфирование:
-
модель Фойгта
Уравнение колебаний:
(1)
(2)
(2) подставляем в (1):
(3)
Нормализация:
(3) умножим на Wj
проинтегрируем по dx на интервале 0-l
,
(4)
,
Если E, I, =const
Тогда уравнение (4) примет вид:
,
30.Параметрические колебания под действием высокочастотного параметрического возбуждения. Условие динамической устойчивости перевёрнутого маятника.
система
с одной степенью свободы, свободные
колебания
Низкочастотное параметрическое возбуждение p~ω
Высокочастотное параметрическое возбуждение p>>ω
Высокочастотное параметрическое возбуждение.
Период быстрого движения
ТБ – осцилляция; ТМ – эволюция.
Теорема о медленном и быстром движении.
1)Быстрое движение может содержать медленное, а наоборот – нельзя!
2)
- осреднение
Пример.
явно быстрое
;
смешанное движение
;
Решение в виде:
Осредняем (6)