1. Методы составления дифференциальных уравнений движения колебательных систем. Метод Лагранжа.
Существуют несколько методов составления дифференциальных уравнений движения колебательных систем.
Метод Лагранжа.
В
водится
минимальное число координат – обобщенные
координаты.
n – число степеней свободы.
Уравнение
Ньютона:
-
виртуальные возможные перемещения.
-
работа сил инерции;
-
работа внешних сил.
Выразим через обобщенные координаты:
замена переменных:
-
обобщенная сила;
кинетическая энергия;
Пример: составить уравнение движения.
-единичная
обобщенная координата.
Линеаризация
Линеаризация применима только после метода Лагранжа.
2. Параметрические колебания с учетом малых нелинейностей. Уравнение параметрона.
П
араметрические
колебания, возникающие в системах,
параметры которых (жесткость или масса)
заданным образом изменяется во времени.
Примером параметрического возбуждения
может служить маятник, ось подвеса
которого совершает заданные колебания
в вертикальном направлении (рис. А). Если
состояние относительного покоя будет
каким либо образом нарушено, то возникнут
угловые колебания, причем в зависимости
от сочетания параметров системы указанные
колебания могут быть ограниченными,
так и неограниченно возрастающими во
времени. В последнем случае говорят о
параметрическом резонансе. И по
физической сущности, и по математическому
описанию эта задача принципиально
отличается от задачи о вынужденных
колебаниях маятника при заданном
горизонтальном движении подвеса(рис
Д).
Нелинейные колебания:
- линейное
- нелинейное
- уравнение Дуффинга
- ограничитель, сдерживает силу
Уравнение параметрона:
Объединяет 3 уравнения:
Уравнение Матье:
Уравнение Дуффинга:
(нелинейная пружина)
Уравнение Ван-Дер-Поля:
(автоколебания)
По методу Боголюбова:
(1)
(2)
(3)
Подставляя и отбрасывая значения для
(2),(3)→(1)
В
этом выражении:
При
При
Рассмотрим стационарный режим:
Возведем в квадрат и сложим
Обозначим
Получим квадратичную форму:
- уравнение элипса
А,В – границы области неустойчивости
С,А – точки бифуркации
АС – область бистабилизации
АD – не устойчивая область
хранение информации
3.Метод д’Аламбера. Энергетический метод.
Рис. надо делать в отклоненном от положения равновесия.
Энергетический метод.
Пример:
4 Определение методом Боголюбова в первом приближении законов изменения амплитуд и фаз решения уравнения Матье.
Без трения
-(*)
формулы Боголюбова
Граница области неустойчивости : 
Замена Боголюбова
a,
-
зависят от времени
(**)
(*)→(**)
Т.о.
2) 
при 
пропорционально линейному закону
~ t,
а предполаг. что a(t)=0.
Причина в том, что мы использовали только
первое приближение.
3)
Н.У. 
Дифференцируя по 
и
- медленно изменяющиеся функции времени
→ при дифференцировании const
Н.У. 
5 Свободные колебания системы с одной степенью свободы .Свободные колебания с учетом линейного демпфирования.
Колебания системы с одной степенью свободы.
Гармонический осциллятор
До
Свободные колебания.
Н.У. 
-
виброперемещение
-виброскорость
-виброускорение
Свободные колебания, у которых частота не зависит от начальных условий называются собственными.
Собственная частота свидетельствует о податливости
Свободные колебания с демпфированием.
Модели трения
Сухое трение 
Вязкое трение 
Гидродинамическое трение 
Трение бывает внешнее(в воде, в газе) и внутреннее(между частями колебательной системы).
Демпфер
n-декремент колебаний(затуханий)
Система с вязким трением никогда не остановится по этой модели.
x –квазипериодическая функция
Пример
Металлическая конструкция 
Приборы на амортизаторах 
Апериодическое движение 
Граница апериодического движения 
Затухающие колебания
6 Метод Боголюбов для решения уравнений с малым параметром.
Если 
-известно→решение
φ(t)
Если -неизвестно→границы области неустойчивости
(2) и (3) →(1)
…
…
(4)
Все уравнения системы (4) складываются
с умножением на
в соответствующей степени – линеаризованное
уравнение.
a
(t)-амплитуда
медленные функции по сравнению с
-фаза 
(6)→(5)
Условие: 
(7)
дает 
Осредним (10) по периоду 
На границе области неустойчивости
