7. Вынужденные колебания одной степенью свободы при отсутствии резонанса. Способы определения частных решений.

Вынужденные колебания без трения:

Интеграл Дюамеля: - общего вида

Пусть

Тогда:

Пр:

Действие на систему гармонической вынуждающей силы.

разность фаз между вынуждающей силой и откликом системы.

f(t)=f(t+T)

Вынужденные колебания c трением:

В случае системы с трением, амплитуда при резонансе ограничена. Мах амплитуда расположена на АЧХ левее точки резонанса, а сдвиг фаз – между f(t) и x(t) не изменяется => критерием резонанса следует считать изменение сдвига фаз между f(t) и x(t).

Случай отрицательного трения:

8. Уравнение Матье с демпфированием. Определение границ области неустойчивости в первом приближении. Условие существования резонанса.

9. Резонанс без демпфирования в системе с одной степенью свободы. Биения.

-особое состояние колебательной системы, находящейся под действием гармонической вынуждающей силы, при которой частота вынуждающей силы = частоте собственных колебаний

Резонанс:

При резонансе:

1. рост амплитуды пропорционально t;

2. сдвиг по фазе между f(t) и Xрез составляет

3. - «Биение».

10.Второй параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.Д.У. Для амплитуды и фазы решения во втором приближении.

В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах возникают нарастающие колебания системы, имеет место параметрический резонанс.

- основной параметрический резонанс.

- резонанс второго порядка..

2-й параметрический резонанс.

;

Гр. обл. неуст-ти: ;

В первом приближении область неустойчивости не существует, только во втором приближении она сдвинута. т.е. трение порядка ипсилон уничтожает параметрический резонанс выше второй степени.

11. Собственные частоты и формы колебаний системы с двумя степенями свободы. Главные координаты.

Системы с 2-мя степенями свободы:

1. Д ва тела по 1 степени свободы.

2. одно тело с двумя степенями свободы.

Собственные колебяния(для первого рисунка): ;

=>

-главные колебания

;

Если положение системы, от которого отсчитываются перемещения является положением устойчивого равновесия, то все корни Ур-я действительны и положительны. Таким образом, система с 2 степенями свободы имеет 2 частоты собственных колебаний( ). В общем случае все корни, а значит и все собственные частоты различные. T1: - действительные:

Т2 >0; (d+a)/2=p>0; Q=d(a-b)=df>0

1-й тон колебаний

2-й тон колебаний

Каждой собственной частоте соответствует определённая форма колебания, т.е. определённое соотношение между всеми амплитудными перемещениями

Произвольно задав одно из амплитудных перемещений из уравнения можно найти второе. Пусть - опорные коэф-ты (как масштаб) - коэф-т формы.

Собственные формы колебаний показывают отношение м/д максимальными амплитудами при главных колебаниях при заданной частоте.

Собствен. Форма- величина безразмерная

А1 задаёт масштаб.

Главные нормальные координаты – координаты в которых кинемат. И потенц. Энергия представлены квадратичными формами в канонич.виде.

Переход к главным нормальным координатам.

Т.О главных формах колебаний. Переход к ГНК осуществляется заменой переменных:

Док-во:

=>

12. Основной параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.Д.У. Для амплитуды и фазы решения в первом приближении.

В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах возникают нарастающие колебания системы, имеет место параметрический резонанс.

- основной параметрический резонанс.

- резонанс второго порядка..

и т.д.

- уравнение Матье.

-Коэф при ; -при ; -всё остальное.

; ;

найдём д.у и решения амплитуды и фазы.

/2

Граница области неустойчивости =0; =0

=>

Замена Боголюбова

=>

1)

2)

;a(t)->∞ При t→∞ t пропорционально линейному закону, причина в том,что мы взяли только первое приближение.

3)

13.Колебания систем с двумя степенями свободы. Случай нулевых и кратных собственных частот.

Случай нулевых частот

; ; ;

1) ; ;

;

2) ; ; ;

Наличие нулевой собственной частоты говорит о том, что система может двигаться как жесткое целое.

Имеется КА состоящий из 2-х отсеков, соединенных фермой.

; ;

;

;

;

Случай кратных частот

2 степени свободы.

Возможны 2 независимых движения: по ОХ и по ОУ.

;

;

; ;

;

;

если bd=0 b=0 d=0

a=f

14. Метод последовательных приближений.

(1) малый параметр

(2) – асимптотический ряд

; n – номер приближения

невозмущенное движ-е

15. Симпатические маятники

; i=1,2

;

(1) - (2):

(1) + (2):

; ;

; пусть

;

н.у. t=0

; ; ; ; ;

; ; ;

16.Метод Пуанкаре на примере уравнения Матье в первом приближении.

(метод исследования параметрических колебаний)

α – частотная расстройка

Рассмотрим метод Пуанкаре на примере уравнения Матье:

Уравнение (*):

Коэффициенты при резонансных слагаемых:

При :

При :

Возведём в квадрат и сложим:

Пусть , подставляем в ур-е (*). Все резонансные слагаемые обнуляются. В итоге получим:

Тогда

17.Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Амплитудно-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика системы с двумя степенями свободы.

18.Метод Релея.Метод Ритца.На примере балки постоянного сечения.

Метод Релея и метод Ритца относятся к приблежённым методам исследования колебания.

Метод Релея:

, где - необходимо задать такую, чтоб она удовлетворяла кинематическим граничным условиям.

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

В результате получаем:

Теорема Релея:

весгда больше чем первая собственная частота . .

Пример:

Кинематические граничные условия:W(0)=0,W(l)=l.

Силовые граничные условия:

Точное решение:

Метод_Ритца

, где - произвольная, удовлетворяющая кинематическим условиям функция.

Пример:

_,

19. Резонанс в системе с двумя степенями свободы. Динамическое демпфирование.

æ₁=d/(d-ω²₁)>0;d> ω²₁; æ₂=d/(d-ω²₂);d< ω²₂

Динамический демпфер

20. Определение крит. продольной нагрузки для стержня в случае шарнирного з акрепления.

ω²>0 – устойчивость

ω²=0 – граница устойчивости

ω²<0 – неустойчивость

Пусть гр.у. – шарниры; E,J,ρ – const

Граница устойчивости.

21. Колебание систем с конечным числом степеней свободы. Главные формы колебаний. Условия ортогональности.

Переход к г.н.к.. Условия ортогональности.

Применение условия ортогональности

Если известна м-ца [A], тогда {x}=[A]{φ}, где {φ} – вектор главных нормальных координат.

22.Поперечные колебания стержней постоянного сечения. Вывод уравнений, Граничные условия, Точное решение на примере консольно закрепленного стержня,

, ,

1. Плоское сечение

2. 

Проекция на ОУ:

, ,

- уравнение поперечных колебаний

Начальные условия:

Граничные условия:

Кинематические: - прогиб; - угол поворота сечения

Силовые факторы: - момент; - поперечная сила

1 )

2 )

3 )

4)

Поперечные свободные колебания стержня постоянного сечения:

, (1)

Начальные условия:

Граничные условия:

(2)

(2)→(1)

1) Краевая задача

, , ,

2) задача Коши

! ! – балочная функция

→ . Тогда

2)