Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный инженерно-технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ФУНК_МНОГИХ_ПЕРЕМ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.05.2019

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

6. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции и ее полный дифференциал связаны равенством , где - бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с при достаточно малых приращениях аргументов можно величиной пренебречь и считать . Это приводит к приближенному равенству , или подробно

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета значения по известным значениям функции и ее частным производным в данной точке P(x, y).

Пример 1. Высота конуса H=10 см, радиус основания R=5 см. Как изменится объем конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса основания на 2 мм.

Решение. Объем конуса . Изменение объема приближенно заменим его дифференциалом .

Подставив значения (в см) R=5, H=10, dR=-0.2, dH=0.2, получим

Пример 2. Вычислить приближенно число а=(1.04)^2.03.

Решение. Рассмотрим функцию f(x, y)=x^y. Данное число a есть приращенное значение этой функции в точке P₀(1, 20 при . Дифференциал данной функции .

Его значения в точке P₀(1, 2) при данных приращениях

поэтому имеем .

7. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов

П од эмпирической формулой понимают формулу, составленную по данным, определенным в результате эксперимента. Получив в результате наблюдений значений величины и соответствующих значений величины , ставят задачу отыскания такой аналитической зависимости между этими величинами, которая возможно мало отличалась бы от реальной зависимости между и . Формулу, приближенно выражающую эту зависимость, называют эмпирической.

Эмпирическими формулами часто пользуются в физических, химических и других естественных науках. Метод наименьших квадратов – один из лучших способов составления таких формул. Изложим идею этого метода для случая линейной зависимости двух величин.

Пусть необходимо установить зависимость между двумя величинами и . Произведем измерений и результаты их занесем в таблицу:

x				…
y				…

Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости: , , …, . Допустим, что эти точки расположены почти на некоторой прямой (рис. 1).

Естественно в этом случае предположить, что между и существует линейная зависимость, т.е. есть линейная функция от , выражающаяся формулой , (1)

где и – некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Равенство (1) можно записать в виде:

, (2)

Поскольку точки только приблизительно расположены на прямой, определяемой уравнением (1) или (2), то и эти формулы являются приближенными.

Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо и значения и , , взятые из таблицы, получаем:

(3)

где – некоторые числа, называемые погрешностями.

Требуется определить коэффициенты и так, чтобы погрешности были по возможности малыми по модулю. Согласно методу наименьших квадратов, подберем коэффициенты и так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма

(4)

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по модулю.

Подставляя равенства (3) в формулу (4), получаем:

Переменная величина является функцией двух переменных и . Подберем параметры и так, чтобы функция принимала возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: , . Находя частные производные по и , приравниваем их нулю, получаем так называемую нормальную систему:

(5)

откуда определяем параметры и эмпирической формулы (1).

Пример 1. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	0	1	1,5	2	3
y	–0,3	1,3	2	3	3,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы , , , . Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.

№ п/п
1	0	–0,3	0	0
2	1	1,3	1	1,3
3	1,5	2	2,25	3
4	2	3	4	6
5	3	3,5	9	10,5
	7,5	9,5	16,25	20,8

Нормальная система (5) имеет вид:

Решая эту систему, находим: , . Следовательно, зависимость между величинами и выражается приближенной формулой . Чтобы установить, какая их двух линий или лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные, проведем следующие вычисления:

№ п/п
1	–0,3	-0,065	0	0,055225	0,09
2	1,3	1,245	1	0,003025	0,09
3	2	1,9	2,25	0,01	0,0625
4	3	2,555	4	0,198025	1
5	3,5	3,865	9	0,133225	30,25
	9,5	9,5	16,25	0,3995	31,4925

Так как , то прямая лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделаем чертеж.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+y²-9xy+27; 0 x 3, 0 y 3.

3.Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	10	20	30	40	50
y	9	16	23	32	41,5

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Одна сторона прямоугольника a=6 см, другая b=8 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если сторону a удлинить на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм?

Вариант 2.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2y²+1; x0, y0, x+y3.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5	5,4	5,8	6,3	6,8
y	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить sin44⁰·cos29⁰.

Вариант 3.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=3-2x²-xy-y²; x1, y0, yx.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	4	4,5	5	5,5	6
y	17	18	19	20	21

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить (0.97)^2.02

Вариант 4.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+3y²+x-y; x1, y-1, x+y1.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	16	20	24	28	32
y	2	2,1	2,2	2,3	2,4

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 5.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж.z=x²+2xy+2y²; -1 x 1, 0 y 2

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5,2	5,4	5,6	5,8	6
y	2,2	2,1	2,1	2,0	1,9

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при , ;

6. Вычислить 0,97arctg

Вариант 6.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=5x²-3xy+y²+4; x-1, y-1, x+y1.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	10	15	19	22	25
y	4	6	8,5	10,2	12,2

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 7.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=10+2xy-x²; 0y4-x².

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	2	3	4	5	6
y	1,7	2	2,2	2,4	2,6

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить sin59⁰·cos32⁰.

Вариант 8.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2xy-y²+4x; x0, y0, x+y+20.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	7	8	9	10	11
y	2,5	2,2	2	1,8	1,7

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

в области при ;

6. Вычислить 1.04·ln(1.02)

Вариант 9.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+xy-2; 4x²-4y0.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	10	20	30	40	50
y	20	50	100	170	261

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 10.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+xy; -1x1, 0y3.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	8	9	10	11	12	13
y	2,4	2,6	2,8	3	3,1	3,3

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 11.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+y²-4xy-4; 0 x 4, 0 y 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	11	20	31	40	50
y	10	16	23	32	41,5

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа. при ;

6. Вычислить

Вариант 12.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2y²+4xy+1; -1 x 1, 0 y 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5	5,5	5,9	6,4	6,9
y	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 13.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x³+y³-3xy; 0 x 4, 0 y 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	4,5	5	5,5	6	6,5
y	17	18	19	20	21

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала.

Вариант 14.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²-2y²+4xy-6x+5 в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	17	20	25	28	32
y	2	2,1	2,2	2,3	2,4

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а=100м 2м, сторона b=200 м 3 м, угол С=60⁰ 1⁰. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с?

Вариант 15.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²-y²+4xy-6x-2y в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5,1	5,3	5,5	5,7	6
y	2,2	2,1	2,1	2,0	1,9

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при , ;

6. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле , где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести. Найти погрешность в определении Т, получаемую в результате небольших ошибок и при измерениях l и g.

Вариант 16.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x³+4x²+y²-xy в области, ограниченной параболой y=x², осью Оу (х0) и прямой y=4.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	11	14	18	21	24
y	4,1	6	8,5	10,2	12,3

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Одна сторона прямоугольника a=12 см, другая b=16 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если обе стороны укоротить на 1 мм?

Вариант 17.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+xy-3x-y; 0 x 2, 0 y 3.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
y	1,7	2	2,2	2,4	2,6

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

в области при ;

6. Вычислить sin149⁰·cos121⁰.

Вариант 18.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж.

z=x²-2xy+3 в области, ограниченной параболой y=4-x² и осью Ох.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	7,5	8	9,5	10	11,5
y	3	2,2	2	1,8	1,7

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить (1.07)^1.92

Вариант 19.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2xy-y²-2x+2y+3 в треугольнике, ограниченном прямыми y=0, x=2, y=x+2.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	11	20	32	40	53
y	20	51	100	172	261

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 20.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+y²-6x+4y+2; 0 x 4, -3 y 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	7,5	9	9,5	11	11,5	13
y	2,3	2,6	2,8	3	3,1	3,3

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить 1,07arctg

Вариант 21.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=1+x+2y; x0, y0, x+y1.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	9,8	19,5	30,5	39,8	50
y	8,5	16	23	32	41,5

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 22.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²y; x²+y²1.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5,1	5,5	5,8	6,3	6,8
y	2,3	2,2	2,4	2,5	2,6

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить sin44⁰·cos46⁰.

Вариант 23.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x³+y³-3xy; 0 x 2, -1 y 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	4,1	4,6	5	5,4	6
y	16,5	18	19,5	20	20,5

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить 2.04·ln(0.92)

Вариант 24.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+8y+2xy-4x в области, ограниченной осями Ох, Оу и прямыми у=2, х=1.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	17	20	23	28	32
y	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 25.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x³-xy²+y² в области, ограниченной осями Ох, Оу и прямыми х=1, у=6.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	5	5,4	5,6	5,8	6
y	2,2	2,3	2,1	2,0	1,9

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при , ;

6. Вычислить

Вариант 26.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+2xy+10 в области, ограниченной параболой y=x²-4 и осью Ох.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	12	16	19	22	23
y	4,5	6,5	8,5	10,2	12,2

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Вариант 27.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²/2-xy в области, ограниченной параболой у=2х² и прямой у=8.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	2,2	3,2	4,2	5,2	6,2
y	1,7	2	2,2	2,4	2,6

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

в области при ;

6. Вычислить

Вариант 28.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x²+4xy-2y²-6x-1 в области, ограниченной осями Ох, Оу и прямыми х+у-4=0.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	6,5	8	9,5	10	11
y	2,4	2,2	2	1,8	1,7

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 5 см, 4 см и 3 см, сделан из фанеры толщиной в 3 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала.

Вариант 29.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x²+3y²+1 в области, ограниченной параболой у=9-9х²/4 и осью Ох.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	10,5	19,5	30	40,5	50,5
y	20	50	100	170	260

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а=50м 1м, сторона b=100 м 2 м, угол С=60⁰ 1⁰. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с?

Вариант 30.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x²-y²/2+2ху-4х в области, ограниченной осью Ох и прямыми у=2х, у=2.

3. Проверить, что rot rot = grad div – , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x	7,5	8,5	10	10,5	11,5	13
y	2,3	2,6	2,8	3	3,1	3,3

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при ;

6. Вычислить

Баранова И.М., Алексеева Г.Д.,

Гущин Г.В., Муравьев А.Н.,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202545 Кб0Философская мысль в россии.docx
#
14.07.2019463.87 Кб13фин менеджмент для ЭУН.doc
#
01.04.2025185.34 Кб0Финансы методичка по курсовым работам для бакал...doc
#
16.05.2015553.98 Кб26Фонтаны.doc
#
01.05.2025365.04 Кб1Формы правления РОМАНУ (1).docx
#
04.05.20193 Mб6ФУНК_МНОГИХ_ПЕРЕМ.doc
#
01.05.2025330.24 Кб0харитон.doc
#
01.05.2025272.36 Кб0Химия ответы (Восстановлен).docx
#
31.07.201983.43 Кб6химия. вопросы 64-78.docx
#
16.05.2015231.42 Кб11часть 1 дипл.doc
#
16.05.2015912.38 Кб31часть 2 диплом готова.doc