44

Лабораторная работа №4 изучение зависимости Электрического сопротивления металлов от температуры

Цель работы: изучение зависимости сопротивления медной проволоки от температуры, вычисление температурного коэффициента электрического сопротивления меди.

Приборы и оборудование: омметр (комбинированный прибор Щ4300), термометр, термостат, электрическая плитка, исследуемый проводник.

Теоретическое введение

Для каждого проводника существует однозначная зависимость между напряжением U, приложенным к концам проводника и силой тока в нём: I=f(U). Эта зависимость называется вольт-амперной характеристикой данного проводника. Для многих проводников, в особенности для металлов, эта зависимость особенно проста – сила тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику пропорционально падению напряжения U на проводнике:

. (1)

Этот равенство носит название закона Ома.

В случае однородного проводника напряжение U совпадает с разностью потенциалов __.

Обозначение в формуле (1) буквой R величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит Ом, равный единице сопротивления такого проводника, в котором при падении на его концах напряжения в 1 В протекает ток силой 1А. Для измерения больших сопротивлений употребляют более крупные единицы: 1кОм (КилоОм) = 10³Ом и 1МОм (МегаОм) = 10⁶Ом.

Коэффициент пропорциональности 1/R в формуле (1) называется электропроводностью проводника.

Электрическая проводимость металлов обусловлена наличием подвижных (свободных) электронов, способных перемещаться по металлу, которые называются электронами проводимости.

При тепловом беспорядочном движении в отсутствии внешнего электрического поля суммарный заряд, переносимый электронами в любом направлении, равен нулю, т.е. в металле тока нет. При наложении внешнего электрического поля электроны получают упорядоченное движение в направлении противоположном нулю. Возникает перенос электрического заряда, т.е. электрический ток. При ускоренном движении электроны сталкиваются с ионами, расположенными в узлах кристаллической решётки и передают им часть энергии, которая превращается в тепло. Металлы нагреваются. Упорядоченное движение электронов в металле происходит с трением, которое вызвано соударением с положительными ионами и подобно внутреннему трению в газах. Следовательно, причина электрического сопротивления заключается в соударении электронов с положительными ионами в кристаллической решётке металла.

Рис. 1. Электрический ток в металлах. Направление движения электронов противоположно внешнему полю и плотности тока .

Сопротивление проводников зависит от их формы и размеров. Эта зависимость особенно проста, если проводники имеют форму цилиндров постоянного поперечного сечения ( проволоки ). В этом случае

, (2)

где l – длина проводника, S – его поперечное сечение. Коэффициент пропорциональности зависит от рода вещества и его состояния и называется удельным сопротивлением данного вещества. Величина, обратная удельному сопротивлению, получила название удельной электропроводности вещества

. (3)

Единица удельного сопротивления в СИ есть Омм. Если в выражении (2) положить l=1 м , S=1 м , то R= Следовательно, удельное сопротивление вещества есть сопротивление куба с ребром 1 м из данного вещества, выраженное в Омах, при токе, параллельному одному из рёбер куба.

Ниже рассмотрим природу сопротивления проводника с точки зрения электронной теории электропроводности металлов. Многочисленными опытами было установлено, что носителями зарядов в проводниках первого рода (металлов) являются свободные электроны. С точки зрения классической электронной теории, электроны проводимости в металле рассматриваются как некоторый электронный газ, обладающий свойствами одноатомного идеального газа. При своем движении электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки, пробегая за время расстояние . Это расстояние называется средней длиной свободного пробега. Соответствующее ему время есть среднее время между двумя столкновениями. Если использовать кинетическую теорию газов, то энергию теплового движения электронов можно оценить по формуле

,

(4)

где m_e – масса электрона,

v_кв – средняя квадратичная скорость,

k – постоянная Больцмана,

Т – абсолютная температура.

При 0 ⁰c v_кв =110 км/с. Таков же порядок и средней арифметической скорости теплового движения электронов – . Вследствие своей хаотичности тепловое движение электронов не может привести к возникновению тока в проводнике.

Однако при наложении внешнего электрического поля в проводнике возникает упорядоченное движение электронов, образующее электрический ток, плотность которого определяется выражением:

,

(5)

где n₀ – объемная концентрация электронов,

е – заряд электронов,

– средняя скорость упорядоченного движения электронов в направлении поля.

Средняя скорость упорядоченного движения чрезвычайно мала по сравнению со средней скоростью хаотического теплового движения и оценивается примерно 8^.10^-4 м/сек. Это объясняется очень частым столкновением электронов с ионами кристаллической решетки. Однако движение электронов под действием электрического поля возникает на всей длине проводника и практически одновременно.

Если предположить, что электроны при соединении с узлами кристаллической решетки полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают за время свободного пробега , то второй закон Ньютона для электронов (уравнение движения) можно записать в виде:

,

(6)

или

.

(7)

Интегрируя это уравнение по vот 0 до и по t от 0 до , получим

.

(8)

Учитывая, что движение под действием электрического поля происходит равноускоренно, средняя скорость упорядоченного движения будет равна половине максимальной

,

(9)

где , т.к. , где – средняя длина свободного пробега, – средняя тепловая скорость.

Тогда средняя скорость упорядоченного движения будет равна

,

(10)

а плотность тока запишется следующим образом:

.

(11)

Полученное выражение называют законом Ома для плотности тока или законом Ома в дифференциальной форме. Закон Ома для плотности тока можно получить также путем простых преобразований из обычного закона Ома, записанного в виде

,

(12)

где U – напряжение, приложенное к проводнику,

R – сопротивление этого проводника.

Используя формулу (2), перепишем закон Ома (12) в виде

;

(13)

поделив обе части этого уравнения на S, получим

,

(14)

где есть плотность тока.

Так как в однородном поле , то окончательно для плотности тока запишем выражение

.

(15)

Сравнивая формулы (15) и (11), получаем, что удельное сопротивление связано с характеристиками носителей зарядов следующим образом:

.

(16)

Удельное сопротивление зависит не только от рода вещества, но и от его состояния, в частности от температуры. Зависимость удельного сопротивления, от температуры характеризуется температурным коэффициентом сопротивления данного вещества:

. (17)

Как видно из (17) этот коэффициент  дает относительное приращение удельного, сопротивления при увеличении температуры на один градус. Температурный коэффициент сопротивления для данного вещества различен при разных температурах. Это означает, что удельное сопротивление меняется с температурой не по линейному закону, а зависит от нее более сложным образом. Однако для многих проводников, к которым относятся все металлы, изменение с температурой не очень велико. Если еще интервал изменения температуры достаточно мал, то приближенно считают  постоянным, равным среднему его значению внутри рассматриваемой области температур. Так, например, _ есть удельное сопротивление при 0 ⁰С, а  его значение при t ⁰С, то можно положить

. (18)

Температурный коэффициент сопротивления может быть как положительным, так и отрицательным. У всех металлов сопротивление увеличивается с увеличением температуры и, следовательно, для металлов >0. Для многих проводников первого класса (например, полупроводников) наблюдается обратное, и по крайней мере в некотором температурном интервале, их сопротивление уменьшается с увеличением температуры. У всех электролитов (проводников второго класса) в отличии от металлов сопротивление при нагревший всегда уменьшается и для них также <0. Некоторые сплавы имеют весьма малое , примером, чего может служить константан. Поэтому проволоки из таких сплавов применяют для изготовления точных образцов сопротивления (эталонов сопротивления).

Зависимость сопротивления металлов от температуры используют в различных измерительных и автоматических устройствах. Наиболее важным из них является термометр сопротивления. Он представляет собой сопротивление, температурная зависимость которого тщательно проградуировано. Термометры сопротивления обладают так же важным достоинством, что могут как при очень низких температурах, так и при очень высоких, при которых применение обычных жидкостных термометров невозможно. Так, платиновый термометр сопротивления можно применять в интервале от -263 и до +1000°С. Получение точности в несколько сотых градуса при измерении температуры термометром сопротивления не представляет затруднения.

При очень низких температурах в некоторых веществах возникает удивительное состояние – сверхпроводимость, в котором электрическое сопротивление исчезает вовсе. Однако этот вопрос требует специального изучения.

За время свободного пробега отдельный носитель приобретает энергию, равную работе, которая совершается за счет электрического поля: w=eEl. Т.к. общее количество зарядов, проходящее в единицу времени через поверхность единичной площади, определяется плотностью тока j , то для l=1 количество энергии, переходящей в теплоту, равно

w=jE или w= Е². (19)

Последнее выражение носит наименование дифференциального закона Джоуля-Ленца.

Для проводника, имеющего длину l и площадь S, оно преобразуется к известному виду, достаточно лишь обе части этого выражения умножить на объем V =Sl и время t:

, (20)

где в преобразованиях использован закон Ома для участка цепи. Полученная формула описывает закон Джоуля-Ленца в интегральном виде.

Выделяющаяся теплота имеет смысл полезной лишь в нагревательных приборах; во всех других случаях это – потери энергии, снижение этих потерь составляет одну из важнейших задач электротехники. Эта теплота образуется за счет энергии сторонних сил.