2.2 Теоретическое обоснование закона распределения скоростей течения по глубине

Ламинарный поток. для ламинарного потока касательное напряжение на любом расстоянии от стенок выражается законом Ньютона

, (2.11)

где du/dz – вертикальный градиент скорости, = – динамический коэффициент вязкости.

Если приравнять касательное напряжение по (2.11) и продольную составляющую силы тяжести gI(h–z) для единицы площади на глубине h–z от дна (рис.6), то получим

.

После замены  на  и интегрирования последнего уравнения от z=0 до z=z и от u_o до u получим уравнение параболы с горизонтальной осью

. (2.12)

Здесь u_o – скорость при z=0. Поскольку в ламинарном потоке скорость у дна равна нулю, получаем для распределения скоростей по глубине

. (2.13)

Если проинтегрировать (2.13) по глубине, получим выражение для средней скорости ламинарного потока

. (2.14)

Формула вида (2.14) хорошо соответствует немногим случаям ламинарных потоков в природе.

Российский гляциолог Б.П.Вейнберг получил, например, для движения льда в одном альпийском леднике аналогичную (2.14) формулу (при этом принималось =0,3710³ г/смс). Для скорости движения ледника на Эльбрусе М.Лагалли нашел зависимость ukh²I, где k=0,014 м/сут.

если h заменить на диаметр пор грунта, то получим u_cpk_фI, т.е. общеизвестный закон Дарси для движения грунтовых вод.

Турбулентный поток. Самый простой вариант анализа турбулентного потока состоит в применении закона Ньютона (2.11) в виде

, (2.15)

где постоянный динамический коэффициент вязкости заменен некоторой переменной величиной А, названной коэффициентом турбулентного обмена с размерностью кг/(мс). Выражение, аналогичное формуле = в данном случае запишем как

А=_т, (2.16)

где _т – коэффициент турбулентной (виртуальной) вязкости.

Выражение (2.15) было впервые применено для описания турбулентного потока Буссинеском в 1877 г.

Усилия многих гидродинамиков в последнее столетие были направлены на поиск связи коэффициента турбулентного обмена А с определяющими факторами. В зависимости от этого получаются и различные уравнения для распределения скоростей течения по глубине турбулентного потока. Рассмотрим несколько вариантов определения величины А.

1) Коэффициент турбулентного обмена постоянен: А=const. Принимая коэффициент турбулентного обмена неизменным, мы получим для распределения скоростей по глубине формулу, аналогичную (2.12):

, (2.17)

где коэффициент  заменен на А/.

Уравнение (2.17) – это парабола с горизонтальной осью типа формулы Базена.

2) Коэффициент турбулентного обмена А зависит от вертикального градиента скорости течения. Такую зависимость предложил А.Прандтль в 1925 г. на основании модели турбулентного перемешивания. Его формула имеет вид

, (2.18)

где l – некоторая линейная величина, называемая длиной пути смешения.

Подставляя (2.18) в (2.15) и приравнивая величине gI(h–z), получим .

Интегрирование этого уравнения приводит к логарифмическому закону распределения скоростей по глубине

, (2.19)

где u_ – динамическая скорость на вертикали, равная , а, b и  – параметры.

Логарифмическую функцию для распределения скоростей течения получили также Т.Карман, В.Н.Гончаров и многие др.

Формула Т.Кармана (1930) имеет вид

. (2.20)

Формулы В.Н.Гончарова (1954, 1962), иногда применяемые в России, следующие:

, (2.21)

. (2.22)

Здесь  – высота выступов шероховатости.

3) Коэффициент турбулентного обмена пропорционален скорости течения. Такая гипотеза была предложена В.М.Маккавеевым (1933) и реализована А.В.Караушевым (1947). Использование выражения

А=ku, (2.23)

позволило Караушеву получить эллиптическую формулу для распределения скоростей течения по глубине. Она выглядит следующим образом:

, (2.24)

где

. (2.25)

Заменяя уклон I по формуле Шези , Караушев из (2.25) получил

. (2.26)

Подбор Р в формуле (2.26) эмпирическим путем позволил найти эмпирическое значение Р:

, (2.27)

где при С60 М=0,7С+6, а при С60 М=48. Кроме того, сравнив полученные результаты с уравнением параболы Базена (2.1), Караушев установил, что m в формуле Базена равно М/2.

приравнивая (2.26) и (2.27), Караушев получил значение коэффициента k:

, (2.28)

а затем и уточненное выражение для А:

. (2.29)

Формула (2.29) показывает, что коэффициент турбулентного обмена увеличивается с ростом глубины потока и увеличением скорости течения, возрастая таким образом от дна к поверхности потока.

Среднее значение А по глубине приближенно равно

. (2.30)

Последняя формула совпадает с уравнением, предложенным В.М.Маккавеевым еще в 1931 г.

Для величины Р в формуле (2.24) Караушев дает также простые выражения: при С60 и Р=0,0222С–0,000197С² при 60С90.