Б) Локальна теорема Лапласа (без доведення)
Зрозуміло, що при великому числі спроб біноміальна функція розподілу обчислюється досить складно,через необхідність обчислення факторіалів великих чисел. Тому часто використовують для обчислення ймовірностей наближені формули. Спробуємо знайти можливість обчислювати ймовірності незалежних спроб, якщо їх число велике.
У
1730 р. Муавр для випадку коли
,
а Лаплас узагальнив на довільні
довели наступну теорему (теорема
Муавра – Лапласа):
Нехай
в кожному з «п»
незалежних випробувань ймовірність
настання події А
однакова і рівна p
де (
),
тоді
- ймовірність того, що в «п»
спробах подія А
настане «к»
раз визначається виразом:
Де:
для усіх «х»
які знаходяться на певному скінченному
проміжку, рівномірно. Доведення
проводиться з використанням для
обчислення факторіалів формули Стірлінга
Де
параметр
задовольняє нерівності
,
тобто є числом з заданого інтервалу.
Якщо замість усіх факторіалів в біномному розподілі підставити формулу Стірлінга то отримаємо розподіл Муавра-Лапласа. Слід відмітити, що коли або р або q близькі до нуля то ймовірність можна обчислити або з допомогою формули Муавра-Лапласа, або з допомогою формули Пуассона.
В) Інтегральна теорема Лапласа та її застосування. Функція Лапласа
Часто,
при оцінці рівня сигналу, прийнятого
системою зв'язку, необхідно знати
ймовірність його попадання в заданий
інтервал. Тобто обчислити ймовірність
того, що випадкова подія в п
спробах появиться не менше
раз і не більше
раз. Тобто, обчислити ймовірність
.
Ця ймовірність обчислюється за допомогою
інтегральної
теореми Лапласа.
Теорема: якщо ймовірність р появи події А в довільній спробі постійна з інтервалу , то ймовірність того, що випадкова подія А в n спробах появиться не менше раз і не більше раз вичислюється з допомогою інтегралу
де,
,
.
Зрозуміло, що даний інтеграл аналітично не вичислюється, але може бути обчислений за допомогою функції Лапласа
,
Дана функція табульована, і має наступні властивості:
1.
,
2.
В таблицях, як правило, приводяться
значення даної функції лише на інтервалі
,
оскільки при
.
Характерний графік залежності
приведено
на малюнку
Тоді:
Отже, інтегральну теорему Лапласа можна записати так:
де,
;
,
m
– змінна
випадкова величина з інтервалу
Г) Ймовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
Нехай
виконується п
незалежних дослідів, в кожному із яких
ймовірність появи події А
однакова і рівна р
Поставимо
задачу знайти ймовірність того, що
відхилення відносної частоти
від постійної ймовірності р
по
абсолютній величині не перевищить малу
величину
.
Іншими словами знайдемо ймовірність
виконання висловлювання:
Цю
ймовірність запишемо як
.
Вираз (1) перепишемо наступним чином
Тоді, шукану ймовірність можна записати у виді
Для обчислення ймовірності застосуємо інтегральну теорему Лапласа, ввівши попередньо позначення
,
Тоді
;
Здійснивши зворотне позначення отримаємо
.
Отриманий вираз і є оцінкою відхилення відносної частоти від постійної ймовірності.
Приклад.
Нехай ймовірність не стандартної деталі
в партії
.
Знайти ймовірність того, що серед 400
випадково відібраних деталей відносна
частота появи нестандартної деталі
відрізняється від 0.1 на величину, не
більшу за 0,03.
Розв'язок. Обчислимо
.
Тоді шукана ймовірність відхилення відносної частоти від 0.1 становитиме
