Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.

Нехай випадкова величина Х має нормальний закон розподілу. Нехай приведено вибірку об’ємом “n” і отримане, виправлене, значення вибіркового середньо квадратичного відхилення S. Точне його значення “σ” нам невідоме. Необхідно встановити інтервал надійності, в який ,з імовірністю γ ,потрапляє величина σ генеральної сукупності.

P(|_σ - S|<δ)=γ (1)

У співвідношені (1) γ,S –відомі, задані значення. Не відома величина “ δ ”, бо вона, власне, і визначає інтервал S-δ< σ < S+δ. (1’)

Для цього представимо нерівність інтервалу (1’) у вигляді S(1- ) < σ < S(1+ ).

Введемо змінну q= , яка містить невідоме значення . Тоді S(1-q) < σ < S(1+q). Невідомим є “q”. Побудуємо випадкову величину:

,де “n” об’єм вибірки.

Виявляється, що задана випадкова величина задовольняє хі- квадрат ( ) розподілу, густина розподілу,щільність якого описується функцією

R(x,n)=( (2)

Як бачимо, дана функція залежить виключно від об’єму вибірки “n”.

Шуканий інтервал для знаходження , може бути заданий еквівалентним (1) виразом

< < ;

< < (3)

це наша випадкова величина , яка задовольняє рівносильній нерівності

. Тоді відповідне, рівносильне (1) рівняння набуде вигляду

(4)

Із заданого рівняння, по значеннях n і γ, знаходимо “ ” із таблиці №4 Гмурман.

А отже встановлюємо інтервал надійності для σ,а саме:.

S(1-q) < σ < S(1+q)

По експериментальному вибірковому набору значень випадкових величин,їх числових характеристик із заданою надійністю γ можна встановити відповідні характеристики генеральної сукупності.

В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.

Нехай зроблена вибірка дає числові значення параметра ,які ми розмістили в порядку зростання ( параметра ) тобто організували варіаційний ряд. Якщо число членів вибірки велике, а числові значення параметра знаходяться між “ а і в ” то можна розбити інтеграл ( а, в ) на “ к ” однакових частин, середини яких позначимо через . Число значень, що потрапили в “і” інтервал ’’ ”. Тобто встановлюється впорядковані пари

Тоді можна провести обчислення математичного сподівання та дисперсії вибірки

X=1/n∑ , де “n” розмір вибірки n= ∑ ni

S² = 1/n∑ - ( )²

Часто числа досить громіздкі, взагалі кажучи не цілі числа. Тому для обчислення суми застосовують метод умовних варіант, метод добутків.

Нехай один із інтервалів, який, для зручності вибирають приблизно посередині інтервалу ( а,b). Бажано, щоб на цьому інтервалі було найбільшим, але дана умова не є обов‘язковою.

Введемо умовні варіанти

Ui = i-i₀ , h = (b – a)/k - крок розбиття.

Тоді, довільне значення параметра x_i можна представити:

;

де i = 1… k

Тоді:

Отже

Тоді: , де