
- •Конспект лекцій з курсу « Теорія ймовірності та випадкові процеси» Розділ 1 Вступ. Поняття ймовірності.
- •Коротка історична довідка.
- •Непарні
- •Властивості ймовірності подій
- •2. Основні формули комбінаторики.
- •Статистичне визначення ймовірності подій
- •1. Для лінійного випадку
- •2. Для плоского випадку
- •1.Умовна ймовірність.
- •Л) незалежні події. Теорема множення незалежних подій.
- •Часто ймовірність події ā позначають
- •0) Наслідки із додавання і множення.
- •1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
- •Р(в) – ймовірність попадання другого.
- •Розділ 2: послідовності незалежних випробовувань. Формула бернуллі
- •Вивід формули Бернуллі:
- •Б) Локальна теорема Лапласа (без доведення)
- •Розділ 3. Основні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики. А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
- •В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
- •1) Біноміальний закон.
- •2) Розподіл Пуассона.
- •Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).
- •Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.
- •Математичне сподівання має властивості:
- •Властивості дисперсії.
- •Сталий множник можна виключити
- •Якщо ξ: η- незалежні випадкові величини, то
- •Моменти к-того порядку.
- •Є. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини
- •Правило трьох „σ”.
- •Ж. Поняття про функції випадкового аргументу і її закон розподілу.
- •Дискретна випадкова величина.
- •Неперервні випадкові величини
- •З. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова.
- •Теорема Бернулі.
- •Теорема Ляпунова. (Поняття).
- •Теореми Чебишева, Бернулі. Та теорема Ляпунова складають закон великих чисел.
- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •Дисперсія вибірки , де
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Г)Багатовимірні випадкові величини.
- •Розділ 5. Елементи теорії кореляції. А. Функціональна та статистична залежності.
- •Б) Знаходження кореляційного зв‘язку між випадковими величинами у вигляді рівняння лінії регресії.
- •В. Додавання дисперсій
- •Перевірка статистичних гіпотез.
З. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова.
Якщо подія А має ймовірність Р(А) то, взагалі кажучи не можна передбачити , чи настане , чи не настане дана подія після однієї спроби. Якщо ж Р(А) дуже близька до одиниці , то практично завжди подія А буде реалізовуватись , точно так же , коли Р(А) 0, то подія не реалізується в одному досліді. У зв’язку з цим на практиці подію А вважають практично вірогідною якщо Р(А) 1 або ж практично неможливою коли Р(А) 0. Тому виникає питання, якою ж повинна бути ймовірність Р(А) 0, щоб подія практично не реалізовувалась.
На це запитання відповіді однозначної немає, оскільки важливим є результат помилки. Наприклад , ймовірність помилкового спрацювання системи ПВО, в порівнянні з такою ж ймовірністю виходу із ладу телевізора. Наслідки різні і ціна помилки різна.
Тому особливе значення в теорії ймовірності мають випадкові події, ймовірності яких близькі до «1» або до «0».
Нерівність Чебишева. (1 форма)
Якщо випадкова величина ζ може набувати тільки невід’ємних значень і має скінчене математичне сподівання, то
Доведення . Розглянемо математичне сподівання величини ζ (дискретної).
1)
Якщо
,
то відповідно
-
що очевидно .
Тепер
розглянемо
-
ймовірність того , що випадкова величина
, тобто
=
,
бо
якщо суму розширити на усі
, то вираз зросте.
Отже .
2) Якщо випадкова величина неперервна. Тоді:
,
-
інтегральна функція розподілу -
Ясно
, що коли помножити функцію на X>1
, то
і
якщо
область зміни «X»
то це означає , що для усіх X<0
,
а раз так , то
.
Отже
!
(☼)
Нерівність Чебишева (друга форма)
Нехай випадкова величина ζ має скінчене математичне сподівання M(ζ) і скінченну дисперсію D(ζ) . Тоді, для будь-якого ε > 0 має місце нерівність
Доведення.
Розглянемо випадкову величину
вона додатно визначена, тоді виписується
нерівність (☼)
Відмітимо,
що нерівність
>1
еквівалентна нерівності
!
;
Тоді
.
Але, оскільки змінна
або ≥ε або менша ε , то ясно, що
.
Теорема Чебишева. Нехай ζ1,…, ζn – попарно спряжені випадкові величини з однаковими математичними сподіваннями та дисперсіями, обмеженими одним і тим же числом
D (ζi) ≤ Ci ; i=1, 2, …
Тоді
(ζ1+
ζ2
+…+ζn)/n
a.
Згідно з властивостями математичного сподівання паралельних величин
M
(
)
=
[M(ζ1)+
M(ζ2)+…
M(ζn)+]=
=a
Аналогічно для дисперсій
D
(
)
=
[D(ζ1)+
D(ζ2)+…
D(ζn)+]
≤
=
.
Отже D ( ) = ;
Тоді можна записати нерівність Чебишева
P
{|
- a|<
ε}
≥ 1 -
;
Якщо ж n , то очевидно, що P {| - a|< ε} = 1;
Тобто, якщо дослідів робити дуже багато, то середнє арифметичне значення наближається до математичного сподівання до реального значення вимірювальної величини, при цьому дисперсія 0.
Теорема Бернулі.
Нехай
μ – число появ події А
при “n”
послідовних незалежних випробуваннях,
в кожному із яких імовірність появи
події А
рівна “p”,
тоді
p.
Доведення. Якщо μ k – число успіхів при “k” випробуванні, то
μ = μ 1 + μ 2 +…+μ n
При
цьому μ
(μ k)
= p
.
D(
μ k)
= pq
=
p(1
- p)
= p
– p2
=
- (p
-
)2
≤
,
(k
= 1,…,n).
Тому для μ k виконуються умови теореми Чебишева , отже
P
(|
- p|<ε)
= 1, при n
.
Отже. Якщо кількість дослідів D, то середньоарифметичне значення результатів кожного прямує до математичного сподівання, а частота появи прямує до ймовірності появи події А.
Ясно, що дії усіх дослідів математичного сподівання і ймовірність появи одна і та ж.