Б) исходя из "размаха" распределения

В) нахождение доверительных интервалов среднего значения признака, с использованием ошибки среднего арифметического.

Г) выявление стандартного отклонения и нахождения интервала , в который попадает 68% значений выборки при нормальном распределении

А) Нахождение квартилей по процентильной шкале. Эта шкала разбивается на 4 части, каждая из частей называется квартилем.

	Q4	Четвертый квартиль	75-100%
Среднее значение	Q3	Третий квартиль	50-75%
	Q2	Второй квартиль	25-50%
	Q1	Первый квартиль	0-25%

Процентили подсчитываются по следующему алгоритму:

1). Располагаем значения признака в нашей выборке в порядке возрастания (столбец 2 табл. 3)

Таблица.3.

№№ п/п	Значения (xi )	Частоты встречаемости	Накопленные частоты xf	Процентили
1	2	3	4	5
	23	1	1	2
	25	1	2	4
	28	1	3	6
	29	2	5	10
	31	1	6	12
	32	2	8	16
	33	1	9	18
	34	1	10	20
	36	1	11	22
	38	1	12	24
	39	2	14	28
	41	1	15	30
	42	2	17	34
	43	1	18	36
	44	2	20	40
	45	2	22	44
	47	3	25	50
	48	1	26	52
	49	2	28	56
	50	1	29	58
	51	2	31	62
	52	1	32	64
	54	3	35	70
	55	2	37	74
	57	2	39	78
	58	2	41	82
	61	1	42	84
	62	1	43	86
	63	2	45	90
	65	1	46	92
	67	1	47	94
	70	1	48	96
	71	1	49	98
	73	1	50	100

2. В столбце 3 располагаем частоты в встречаемости каждого значения (x_i )

3. В столбце 4 подсчитываем накопленные частоты – сверху вниз прибавляется частота встречаемости каждого значения

4. В столбце 5 вычисляем и записываем накопленные проценты – исходя из того, что количество значений (измерений, равных количеству испытуемых) в нашей выборке = 50,

100% - 50

процентиль - накопленная частость (x_f )

процентиль =

Первая накопленная частость x_f = 1, следовательно

Вторая накопленная частость = 2, следовательно,

2. После заполнения колонки 5 табл. 3. находим квартили. Квартиль 1: Q₁ – это величина, ниже которой располагаются 25% всех значений [3]. Это – 25% граница. Ниже третьего квартиля располагается 75 % всех значений. 75% ранг соответствует значению признака приблизительно 56 (см. колонка 5 табл. 5.3) , а 25 процентиль примерно 38,5.

Таким образом, можно считать, что индивиды, у которых значение измеряемого признака в данной выборке (в нашем примере – личностная тревожность) оказалось выше 56, относятся к лицам с повышенной тревожностью, а те, у кого значение ЛТ оказалось ниже 38,5 – относятся к "низкой группе" (личностная тревожность – ниже среднего уровня).

Для распределений, отклоняющихся от нормального (ассиметричных) более правильным будет нахождение полуквартильных отклонений по медиане [2].

Процентильный способ нахождения средне-интервального значения страдает неточностью, так как интервалы между делениями шкалы различны и при нормальном распределении расхождения между ними больше в противоположных частях шкалы, в то время как в центре шкалы (вокруг позиции 50) интервалы очень незначительны. С помощью процентной ранговой шкалы - в отличие от шкал интервалов – нельзя вычислить ни среднего арифметического, ни величины рассеяния признака.

Б) Выявление "размаха" распределения позволяет также найти среднеинтервальное (средневыборочное) значение. Интервальное оценивание – интервал числовой оси, в пределах которого где-то лежит значение данного параметра. В этом случае вместо одного числа – среднего арифметического – точечной оценки – указывается нижняя и верхняя границы интервала. Когда интервал строится с учетом попадания значения параметра в границы интервала, он называется доверительным интервалом. Вероятность того, что в случайно выбранный нами интервал из совокупности всех возможных доверительных интервалов будет содержать искомый параметр, называют доверительным коэффициентом, или уровнем доверительной вероятности. В психологических исследованиях выбирают уровни доверительной вероятности 95% (0, 95), 99% (0,99) и 99,9%. Данные уровни вероятности говорят о том, что вывод – вероятностный, т.е. заключающий в себе риск допустить ошибку (с вероятностью 95% или 99%)

Построение 95% доверительного интервала для среднего арифметического в случае нашего примера можно производить, исходя из размаха распределения [4].

Размах – это разность максимального и минимального значений в ряду данных.

В нашем примере: W = x _max - x _min = 73 – 23 =50

В

Верхняя граница

Нижняя граница

ерхнюю и нижнюю границы доверительного интервала среднего арифметического определяют по формулам:

W – размах , k_n – табличный коэффициент

В нашем примере W = 50 ; k₅₀ = 0,13 (см. таблицу 3.)

Т.о. Верхняя граница = 47,6 + 0,13  50 = 54,1; Нижняя граница = 47,6 - 0,13  50 = 41,1

Таким образом, доверительный интервал для среднего арифметического на уровне вероятности 95% представлен значениями: 41,1 - 54,1

Таблица 4.

Значения коэффициента k_n для расчета границ доверительных интервалов средних арифметических (для уровня достоверности 95%)

n	kn	n	kn
5 6 7 8 9 10 11 12	0,51 0,40 0,33 0,29 0,25 0,23 0,21 0,19	13 14 15 16 17 18 19 20	0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,14 0,13 0,13

В). Доверительные интервалы для нахождения среднеинтервального значения признака строятся также на основе ошибки математического ожидания (Стандартная ошибка среднего арифметического) (Бодалев, Столин, С. 61):

Где S_m – стандартная ошибка среднего арифметического, которая оценивается по формуле:

Где S – стандартное отклонение (в других источниках эта величина обозначается δ)

n - количество испытуемых в выборке (объем)

Если тестовый балл какого-либо испытуемого попадает в границы доверительного интервала, то нельзя сказать, что испытуемый обладает повышенным (или пониженным) значением измеряемого свойства с заданным уровнем статистической значимости.

МЕРЫ РАЗБРОСА ИЛИ РАССЕИВАНИЯ ПРИЗНАКА:

Наиболее часто употребляемыми мерами рассеивания признака считаются размах и стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение)

Размах – это разность максимального и минимального значений в ряду данных.

W = x _max - x _{min .} В нашем примере W = 73 – 23 =50

Более точной мерой рассеивания данных является стандартное отклонение или дисперсия.

Для несгруппированных данных вычисляют стандартное отклонение (S), которое используют как синоним среднеквадратического отклонения (), дисперсия вычисляется как квадрат этой величины [2].

Расчет осуществляется по следующему алгоритму (см. табл. 5):

1. Рассчитываем среднее арифметическое ( ). В нашем примере = 47,6

2. Находится отклонение каждого результата измерения (х_i) от среднего арифметического = ( х_i - ) см. колонка №3.

3. Найденное значение отклонения каждого результата от среднего возводится в квадрат

( х_i - )² - колонка №4.

Таблица 5.

Ранг	Значения	( хi - )	( хi - )2	Ранг	Значения	( хi - )	( хi - )2
1	2	3	4	1	2	3	4
1	23	-24,6	605,16	26	48	0,4	0,16
2	25	-22,6	510,76	27,5	49	1,4	1,96
3	28	-19,6	384,16	27,5	49	1,4	1,96
4,5	29	-18,6	342,25	29	50	2,4	5,76
4,5	29	-18,6	342.25	30,5	51	3,4	11,56
6	31	-16,6	275,56	30,5	51	3,4	11,56
7,5	32	-15,6	243,36	32	52	4,4	19,36
7,5	32	-15.6	243,36	34	54	6,4	40,96
9	33	-14,6	213,16	34	54	6,4	40,96
10	34	-13,6	184,96	34	54	6,4	40,96
11	36	-11,6	134,56	36,5	55	7,4	54,76
12	38	-9,6	92,16	36,5	55	7,4	54,76
13,5	39	-8,6	73,96	38,5	57	9,4	88,36
13,5	39	-8,6	73,96	38,5	57	9,4	88,36
15	41	-6,6	43,56	40,5	58	10,4	108,16
16,5	42	-5,6	31,36	40,5	58	10,4	108,16
16,5	42	-5.6	31,36	42	61	13,4	179,56
18	43	-4,6	21,16	43	62	14.4	207,36
19,5	44	-3.6	12,96	44,5	63	15,4	237,16
19,5	44	-3.6	12,96	44,5	63	15.4	237,16
21,5	45	-2.6	6,76	46	65	17,4	302,76
21,5	45	-2.6	6,76	47	67	19,4	376,36
24	47	-0,6	0,36	48	70	22,4	501,76
24	47	-0,6	0,36	49	71	23,4	547,56
24	47	-0,6	0,36	50	73	25,4	645,16	( хi - )2 = 7457,93

2. Суммируются значения квадратов отклонений: ( х_i - )²

3. Сумма квадратов отклонений делится на общее количество наблюдений (n), в результате чего получается величина, называемая дисперсией (D)

4. Д елим сумму квадратов отклонений на общее число наблюдений (n) и получаем величину, называемую дисперсией: D = ( - х_i )²

n

В общем случае стандартное отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

В нашем примере

√152,2 = 12,34

Г) Согласно характеристикам нормального распределения, примерно 68% значений признака попадают в интервал , и составляют статистическую "норму".. Значения признака, отстоящее от среднего больше, чем на одну δ, можно отнести к значениям выше среднего, а соответственно, меньше чем на одну δ – ниже среднего.

В нашем примере: 47,6 – 12,34 = 35,26; 47,6 + 12.34 = 59,94.

= 35,3 - 60

Таким образом, величина

Следовательно, значения ниже 35,3 будут считаться пониженным уровнем личностной тревожности (по сравнению со средневыборочным), а значения выше 60 – повышенным уровнем. Соответственно, испытуемые, которые в результате данного психодиагностического исследования получили балл, ниже 33,5 – обладают пониженным уровнем ЛТ, а те участники, чей балл оказался выше 60 – имеют повышенный уровень личностной тревожности.