Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lektsia_14_Lineynye_zavisimosti_v_lineynom_pros...docx
Скачиваний:
6
Добавлен:
03.05.2019
Размер:
716.35 Кб
Скачать

Лекция 14

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

14.1. Линейные операторы

Определение. Пусть каждому элементу x линейного пространства поставлен в соответствие единственный элемент y линейного пространства . Тогда говорят, что в задан оператор, действующий в и имеющий значения в , действие которого обозначается как .

Элемент y называется образом элемента x, а элемент xпрообразом элемента y.

Замечание. Операторы подразделяются на отображения, если , и преобразования, если . В дальнейшем будем предполагать, что , то есть будем рассматривать преобразования, действующие в .

Определение. Оператор называется линейным, если для любых и любого числа имеют место равенства

.

Пример 1. В пространстве двумерных векторов линейным оператором является действие над векторами в координатном представлении

,

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом .

Пример 2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производную функцию.

14.2. Действия с линейными операторами

Определение. Линейные операторы и называются равными, если . Равенство операторов обозначается как .

Суммой линейных операторов и называется оператор , обозначаемый , ставящий каждому элементу линейного пространства в соответствие элемент .

Лемма 14.1 Сумма двух линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство.

Пусть и ; – числа, а , тогда

Лемма доказана.

Определение. Нулевым оператором называется оператор, ставящий каждому элементу линейного пространства в соответствие нулевой элемент этого линейного пространства.

Определение. Оператором, противоположным оператору , называется оператор, обозначаемый , ставящий каждому элементу линейного пространства в соответствие элемент .

Замечание. Нулевой и противоположный операторы являются линейными.

Легко проверяются следующие равенства для линейных операторов:

Определение. Произведением числа на линейный оператор на называется оператор, обозначаемый , ставящий каждому элементу линейного пространства в соответствие элемент .

Лемма 14.2 Произведение линейного оператора на число является линейным оператором, для которого выполняются соотношения

Доказательство.

Утверждение леммы проверяется непосредственно. Например, для третьего равенства имеем

Теорема 14.1 Множество всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве , является линейным пространством.

Это следует из определений и лемм предыдущего и настоящего параграфов.

Определение. Произведением линейных операторов и называется оператор, обозначаемый , ставящий каждому элементу линейного пространства в соответствие элемент .

Теорема 14.2 Произведение линейных операторов является линейным оператором, для которого справедливы соотношения

Доказательство.

Докажем вначале линейность произведения линейных операторов. Действительно, и любых чисел

Проверим теперь сочетательный закон для произведения линейных операторов. Имеем

,

но, с другой стороны,

,

что и требовалось показать. Остальные утверждения теоремы проверяются аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. В общем случае произведение линейных операторов не обладает перестановочным свойством (операторы не коммутируют), то есть .

Определение. Оператор называется коммутатором операторов и .

Коммутатор коммутирующих операторов есть нулевой оператор.

Пример 14.1 В линейном пространстве алгебраических многочленов найти коммутатор для операторов: , ставящего в соответствие многочлену его производную функцию, и – оператора умножения многочлена на независимую переменную.

Решение. Построим оператор . Для любого имеем

Откуда получаем

Следовательно, данные линейные операторы не коммутируют.

В задаче 14.1 оказалось, что действие оператора на любой элемент линейного пространства многочленов не приводит к изменению этого элемента. Введем для такого оператора специальное название.

Определение. Оператор называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

.

Задание на дом. Докажите справедливость соотношений:

,

а также линейность и единственность оператора .

Определение. Оператор называется обратным оператору и обозначается , если .

Пример 14.2 В линейном пространстве функций , имеющих на производную любого порядка и удовлетворяющих условиям , оператор дифференцирования и – оператор интегрирования с переменным верхним пределом являются взаимно обратными.

Действительно,

и

.

Замечание. Не для всякого линейного оператора существует обратный оператор. Например, нулевой оператор не имеет обратного. Действительно, пусть при всех , тогда для любого имеет место

,

и, следовательно, равенство не выполняется ни при каком .

Замечание. Обратный оператор, если существует, то только единственный.

Замечание. В случае бесконечномерного линейного пространства из условия может не следовать выполнение условия , что имеет, например, место в пространстве многочленов для пары операторов и , где есть оператор умножения многочлена на независимую переменную, а оператор многочлену ставит в соответствие многочлен .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]