1.8 Изменение координат при замене базиса и смещения начала координат

Поскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами, вопрос об изменении координат при переходе от одного базиса к другому и смещения начала координат представляет практический интерес. Найдем правила, выражающие зависимость координат произвольной точки пространства, заданных в одной системе координат, от координат этой же точки в другой декартовой системе координат.

Пусть даны две декартовы системы координат: “первоначальная” и “новая” (рис. 1.10). Выразим векторы “нового” базиса, а также вектор , через векторы “первоначального”. В силу теоремы 1.8 это можно сделать всегда и притом единственным образом:

(1.1)

Тогда справедлива

Теорема 1.12. Координаты произвольной точки в “первоначальной” системе координат связаны с ее координатами в “новой” соотношениями:

(1.2)

Доказательство.

Пусть некоторая точка M в “первоначальной” системе имеет координаты , а в “новой” системе – .

Получим связь между “старыми” и “новыми” координатами точки M. Имеют место соотношения:

и

M O O Рис. 1.10

Подставив выражения для векторов и в равенство и перегруппировав слагаемые, получим соотношение вида , где

Поскольку векторы линейно независимые, то их линейная комбинация, равная , обязана быть тривиальной, и потому или окончательно

Теорема доказана.

Определение 1.29. Формулы (1.2) называются формулами перехода от системы координат к системе координат .

Замечание. При использовании формул перехода следует обратить внимание на то, что «штрихованные» переменные в (1.1) и (1.2) находятся в разных частях этих равенств.

Замечание. Коэффициенты уравнений в формулах (1.8.2), выражающих “первоначальные” координаты через “новые”, образуют матрицу , столбцы которой есть координаты “новых” базисных векторов в “старом” базисе, а столбец содержит координаты “нового” начала координат в “первоначальном” базисе.

Определение 1.30. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

Теорема 1.13. Для матрицы перехода

Доказательство.

Столбцы матрицы образованы коэффициентами разложения линейно независимых векторов базиса по векторам базиса . Тогда из теорем 1.4.3 и 1.6.3 следует доказываемое утверждение.

Теорема доказана.

Задача 3. На параллелограмме построены две системы координат: “старая” и “новая” (см. рис. 1.11). Найти формулы перехода, выражающие “новые” координаты через “старые”, если и .

Решение. O Рис. 1.11

Из свойств параллелограмма находим соотношения, выражающие векторы “старого” базиса через “новые”: Тогда матрица перехода , а .

Следовательно, выражения “новых” координат через “старые” имеют вид

Формулы перехода между ортонормированными

системами координат на плоскости

Рассмотрим две ортонормированные системы координат и . Получим формулы перехода для случая, показанного на рис. 1.12.

Из геометрически очевидных соотношений

и

получаем матрицу перехода:

, и, если ,

O  Рис. 1.12

тогда “старые” координаты будут связаны с “новыми” как В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса “старой” системы на вектор и поворота на угол  вокруг точки

Однако добиться такого совмещения, используя только параллельный перенос и поворот, вообще говоря, нельзя. Соответствующий случай показан на рис. 1.13.

O  Рис. 1.13

Здесь, после совмещения векторов и , еще потребуется отражение вектора симметричное относительно прямой, проходящей через совмещенные векторы. Формулы перехода будут в этом случае иметь вид

Формально случаи, показанные на рис. 1.12 и рис. 1.13, можно различать, используя

Определение 1.31. Упорядоченная пара неколлинеарных векторов и на плоскости с совмещенными началами называется правоориентированной, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден выполняющимся против часовой стрелки. В противном случае эта пара векторов называется левоориентированной.

Отметим, что для матрицы перехода , связывающей два ортонормированных базиса, , причем , если ориентация у обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть если отражения не требуется), и для случая базисных пар различной ориентации.

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Лекция 4