6. Действия с векторами в координатном представлении

Поскольку в конкретном базисе каждый вектор находится во взаимно однозначном соответствии с упорядоченной тройкой чисел – своим координатным представлением, то естественно возникает вопрос о том, как выполняются операции с векторами в координатном представлении.

Оказывается, что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов), но и оперировать с ними в матричной форме, поскольку правила действий с векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций с матрицами.

Теорема 1.9 В координатном представлении операции с векторами выполняются следующим образом:

1. (Сравнение векторов). Два вектора

равны тогда и только тогда, когда равны их координатные представления:

или .

2. (Сложение векторов). Координатное представление суммы двух векторов

равно сумме координатных представлений слагаемых

3. (Умножение векторов на число). Координатное представление произведения вектора

на число равно произведению координатного представления вектора на это число :

Доказательство.

Поскольку рассуждения для всех трех пунктов аналогично, рассмотрим лишь правило сложения векторов в координатной форме.

По свойствам операций сложения и умножения на вещественное число векторов (теорема 1.3.1) имеем

Теорема доказана

Рассмотрим теперь, как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимости векторов.

Теорема 1.10. Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты и в некотором базисе удовлетворяли условию

Доказательство.

Докажем необходимость. Пусть векторы и линейно зависимы, тогда в силу леммы 1 имеет место равенство или в координатной форме . Исключив из этих двух скалярных соотношений, получим но это и означает, что

Докажем достаточность. Пусть тогда имеем, что при , то есть соответствующие координаты векторов и пропорциональны, что и доказывает линейную зависимость этих векторов.

Случай предлагается рассмотреть самостоятельно.

Теорема доказана.

Теорема 1.11. Для того чтобы три вектора с координатными представлениями в некотором базисе , и

в пространстве были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты удовлетворяли условию

Доказательство.

Пусть линейная комбинация векторов равна нулевому, то есть или, в координатном представлении,

.

Данное матричное равенство очевидно равносильно системе линейных уравнений

основная матрица которой - согласно теореме Крамера - невырождена тогда и только тогда, когда эта система имеет единственное решение.

Но также очевидно, что эта система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. А значит, условие

равносильно равенству что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема доказана.

6. Декартова система координат

_{Определение 1.25}. Совокупность базиса и точки O, в которую помещены начала всех базисных векторов, называется общей декартовой системой координат и обозначается

Определение 1.26. Система координат , порождаемая ортонормированным базисом, называется нормальной прямоугольной (или ортонормированной) системой координат.

Если задана система координат , то произвольной точке M в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор , начало которого находится в точке O, а конец – в точке M.

Определение 1.27. Вектор называется радиусом-вектором точки M в системе координат

_{Определение 1.28}. Координаты радиуса-вектора точки M называются координатами точки M в системе координат

Особенности использования векторно-координатного описания геометрических объектов рассмотрим на примере решения следующих задач.

_{Задача 1.} В некоторой общей декартовой системе координат заданы координаты радиусов-векторов точек M и N, которые являются началом и концом вектора Требуется найти координаты вектора

Решение. M N O Рис. 1.8

Решение очевидно из рис. 1.8 и свойств координат векторов. Пусть и . Тогда имеем и . Окончательно .

Задача 2. В некоторой общей декартовой системе координат заданы координаты несовпадающих точек и , для которых соответственно

и .

_{Требуется найти точку} M, такую, что

Решение. Заметим, что может принимать любое значение, кроме , при котором точка M уходит в бесконечность (рис. 1.7.2). Найдем радиус-вектор точки M. Из соотношений в треугольниках и получаем

M O Рис. 1.9

но, так как то и окончательно, Откуда радиус-вектор точки M равен

в силу теоремы 1.9.