Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ИНФ_методичка6.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
03.05.2019
Размер:
153.6 Кб
Скачать

1.3 Линейная и квадратичная регрессия

Найдем приближающую функцию в виде:

F(x, a, b) = ax + b (11)

Частные производные по параметрам:

F/∂а = x; ∂F/∂b = 1 (12)

Составим систему вида (6-8):

(yi - axi - b)xi = 0; ∑ (yi - axi - b) = 0 (13)

Сумма здесь и далее берется по параметру i в пределах от 1 до n . Далее имеем:

xi yi - a∑ x2i - b∑xi = 0; ∑ yi - a∑ x2i - nb = 0 (14)

или, деля каждое уравнение на n:

(n-1 ∑ x2i) · a +(n-1 ∑xi) · b = n-1 ∑ xi yi (15)

(n-1∑xi) · a + b = n-1 yi (16)

Введем обозначения:

Mx = n-1∑xi ; My = n-1 yi ; Mxy = n-1 ∑ xi yi ; Mx2 = n-1 ∑ x2i; (17)

Тогда система будет иметь вид:

Mx2a + M b = Mxy ; Mx a + b = My (18)

Коэффициенты этой системы Mx, My, Mxy, Mxy, - числа, которые в каждой конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по формулам (17). Решив систему (18), получим значения параметров a и b, а следовательно, и конкретный вид линейной функции (11).

Для квадратичной приближающей функции:

F(x, a, b ,c) = ax2 + bx + c (19)

Частные производные:

F/∂а = x2; ∂F/∂b = x, ∂F/∂c = 1 (20)

Находим систему вида (6) - (8):

(yi - ax2i - bxi - c)x2i = 0; ∑ (yi - ax2i - bxi - c)xi = 0 (21)

(yi - ax2i - bxi - c) = 0 (22)

После несложных преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Коэффициенты системы, так же как и в случае линейной функции, выражаются через неизвестные данные из таблицы 1:

Mx4 a + M x3 b + M x2 c = M x2y ;

Mx3 a + M x2 b + M x c = M xy ; (23)

Mx2 a + M x b + c = M y ;

Здесь использованы следующие обозначения:

Mx4 = n-1 ∑x4i ; Mx3 = n-1 ∑x3i ; M x2y = n-1 ∑x2iyi (24)

Решение системы (23) дает значения параметров a, b и с для приближающей функции (19). Примеры нахождения приближающих функций в виде других элементарных функций представлены в работе [2].

  1. Задание на расчет

Cоставить алгоритм и программу аналитической аппроксимации функции, заданной таблично. Найти такие значения δ1 и δ2, входящие в уравнение (25), при которых погрешность аппроксимации табличной функции с помощью соотношения (25) минимальна. Внести предложения по модификации соотношения (25) с целью снижения величины абсолютной погрешности.

(25)

Ниже приведены примеры программ в системе MathCad и MatLab для решения данного задания.

Варианты заданий:

Таблица 2

α = 4

Y = 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1

1.212

0.896

0.637

0.477

0.373

0.296

0.234

0.181

0.132

0.082

2

1.679

1.438

1.187

0.944

0.746

0.592

0.468

0.361

0.263

0.163

3

2.014

1.809

1.589

1.347

1.105

0.887

0.702

0.542

0.394

0.245

4

2.274

2.096

1.896

1.67

1.423

1.171

0.935

0.722

0.525

0.327

5

2.501

2.329

2.143

1.931

1.692

1.431

1.161

0.902

0.656

0.408

6

2.636

2.522

2.347

2.146

1.916

1.657

1.374

1.079

0.787

0.49

7

2.828

2.684

2.517

2.325

2.104

1.852

1.656

1.249

0.918

0.571

8

2.927

2.821

2.66

2.475

2.262

2.016

1.733

1.407

1.046

0.653

9

3.076

2.937

2.781

2.601

2.394

2.156

1.877

1.55

1.17

0.734

10

3.166

3.035

2.882

2.706

2.505

2.272

1.999

1.675

1.286

0.815

Таблица 3

α = 9

Y =1

1.15

1.3

1.45

1.6

1.75

1.9

2.05

2.2

2.35

2.5

11

1.851

1.671

1.358

1.079

0.872

0.719

0.6

0.503

0.419

0.345

0.276

12

2.682

2.507

2.26

1.984

1.698

1.43

1.199

1.005

0.837

0.689

0.552

13

3.175

3.091

2.88

2.637

2.364

2.072

1.779

1.503

1.256

1.033

0.828

14

3.543

3.545

3.355

3.135

2.884

2.602

2.297

1.979

1.669

1.376

1.104

15

4.201

3.916

3.74

3.536

3.301

3.034

2.736

2.408

2.063

1.716

1.379

16

4.254

4.225

4.059

3.866

3.644

3.391

3.103

2.779

2.423

2.042

1.652

17

4.482

4.486

4.327

4.142

3.93

3.688

3.41

3.095

2.739

2.344

1.917

18

4.895

4.706

4.553

4.375

4.171

3.937

3.669

3.363

3.013

2.615

2.167

19

5.068

4.892

4.743

4.571

4.373

4.146

3.886

3.588

3.246

2.852

2.396

20

5.273

5.049

4.903

4.735

4.542

4.32

4.067

3.777

3.443

3.055

2.6

Таблица 4

α = 16

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

2.9

3.1

21

2.544

2.232

1.885

1.553

1.284

1.076

0.912

0.775

0.659

0.556

0.463

22

3.623

3.392

3.117

2.802

2.463

2.126

1.818

1.549

1.317

1.111

0.924

23

4.394

4.197

3.962

3.687

3.374

3.029

2.666

2.307

1.972

1.666

1.386

24

5

4.823

4.611

4.363

4.076

3.751

3.39

3

2.604

2.215

1.847

25

5.497

5.333

5.136

4.906

4.639

4.334

3.988

3.602

3.183

2.744

2.303

26

5.913

5.757

5.572

5.355

5.103

4.813

4.482

4.108

3.69

3.231

2.743

27

6.264

6.116

5.938

5.731

5.49

5.212

4.895

4.534

4.124

3.663

3.154

28

6.562

6.418

6.247

6.047

5.815

5.548

5.242

4.892

4.493

4.039

3.523

29

6.814

6.674

6.508

6.314

6.088

5.829

5.532

5.193

4.805

4.359

3.847

30

7.025

6.889

6.727

6.537

6.317

6.065

5.775

5.445

5.066

4.63

4.126

  1. ПРИМЕР ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

3.1. Программа поиска эмпирических коэффициентов по МНК в системе MathCad:

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

4.1 Наименование и цель работы.

4.2 Теоретическая часть.

4.3 Задание на расчет.

4.4 Результаты расчета и выводы.

4.5 Источники информации.

Литература

  1. Алексеев А.П. Информатика 2003 / А.П. Алексеев. М.: Солон-Пресс, 2003. 464 с.

  2. Заварыкин В.М. Численные методы / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. М.: Просвещение, 1991. 176 с.

ОБРАБОТКА ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

Методическое указание

к лабораторной работе

Составил КОМАРОВ Вячеслав Вячеславович

Рецензент А.А. Димитрюк

Корректор Д.А.Козлова

Подписано в печать Формат 60х84 1/16

Бум. тип. Усл. печ. л. Уч. – изд. л.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.