Приклади.

1. Розглянемо стани банку , які характеризуються відповідно процентними ставками 3 %, 4 %, 5 %, 6 % , які встановлюються на початку кожного місяця та є незмінними до наступного місяця. Спостереження за роботою банку в попередній період показало, що перехідні ймовірності станів протягом кварталу змінюються в незначній мірі, і тому їх можна вважати сталими.

Визначити ймовірності станів банку в кінці кварталу, якщо в кінці попереднього кварталу процентна ставка складала 5 %, а розмічений граф стану банку має наступний вигляд:

Обчислити шукані ймовірності за формулами (4.63) і (4.64).

Зауваження. При виконанні цього завдання можна орієнтуватися на приклад 4.9.

2. Стани банку характеризуються відповідно процентними ставками 5 %, 8 %, 11 %, які встановлюються на початку року і не змінюються до наступного року. Перехідні ймовірності є сталими. Спрогнозувати, яка ставка буде в 2008 році, якщо в 2004 році процентна ставка була 5 %, а розмічений граф станів зображений на рис.4.11.

Зауваження. 2000 рік можна вважати початковим роком аналізу, а кроки будуть відповідати 2001, 2002, 2003, 2004 рокам.

3. Розглянемо ланцюг Маркова з двома станами , ймовірностями переходу , та початковими ймовірностями . Знайти: а) матрицю переходів через кроків б) абсолютні ймовірності , в) граничні ймовірності

4. Нехай множина станів ланцюга Маркова , а матриця переходів має вигляд

Подубувати граф даного ланцюга Маркова. Переконатися в тому, що стан є поглинаючим, а стани 1 і 2 - незворотні. Після цього знайти: а) середнє значення числа кроків, протягом яких система, яка вийшла з незворотного стану перебуває в незворотному стані ; б) середнє число кроків протягом яких ланцюг Маркова перебуває в незворотних станах, якщо вихідним є незворотний стан ( ); в) ймовірність того, що ланцюг Маркова, який вийшов з незворотного стану ( ), коли-небудь попаде в поглинаючий стан 0.

5. Кожний з двох банків A та B може перебувати в одному з двох станів, які характеризуються процентними ставками за вкладами, які встановлюються на початку кожного кварталу і зберігаються незмінними до початку нового кварталу: стан – процентна ставка 5 %, стан – процентна ставка 6 % . Ймовірності переходів банків A і B із стану в стан не залежать від часу t і задаються відповідними матрицями

Побудувати розмічені графи станів банків A і B. Чи існують фінальні ймовірності станів банку ? Якщо так, то визначити їх. У який банк вигідніше робити вклади ?

Відповіді: 1. В останньому місяці розглядуваного кварталу процентні ставки 3 %, 4 %, 5 % і 6 % будуть відповідно з ймовірностями 0,170; 0,456; 0.245 і 0,129. Отже, в останньому місяці кварталу найбільш ймовірно процентна ставка буде 4 %. 2. У 2008 році процентні ставки 5 %, 8 %, 11 % будуть відповідно з ймовірностями 0,2261; 0,4998 і 0,2741. 3. а)