Примеры решения задач

5.1. Случайная величина X задана функцией распре­деления

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заклю­ченное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р (а < Х < b) = F (b)—F (а). Положив a=0, b= 1/3, получим

Р (0 < Х < 1/3)=F(1/3)—F(0)=[(3/4)x+3/4]_x=1/3 – F[(3/4)x+3/4]_x=0=l/4.

5.2. Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F (х) . Найти возможное значение х₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытаний примет значение, большее х₁.

Решение: События и X>x₁ – противоположные, поэтому . Следовательно,

Т. к. P(X=x)=0, то

По определению функция распределения,

Следовательно,

или

Отсюда , или .

5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение: Воспользуемся формулой (5.6) P(a  Х  b) =  . По условию , . Следовательно, искомая вероятность

.

5.4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу (5.7)

Если х 0, то f(x)=0, следовательно,

.

Если , то

Если х> , то

Итак, искомая функция распределения

5.5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Решение: Используем формулы (5.8б), (5.12)

,

Подставив а=0, b=1, f(x)=2x, получим

и

Т.к. , то .

Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин

6.1. Равномерное распределение.

В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае f(х) постоянна внутри этого промежутка:

a

b

f(x)

(6.1)

Г

Рис. 6.1

рафик функции f(х) представлен на рисунке 6.1.

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

(6.2)

График функции F(x) представлен на рисунке 6.2.

Математическое ожидание равномерно распределенной непрерывной случайной величины равно . В силу симметричности равномерного распределения медиана равна , моды нет.

Дисперсия равномерного распределения равно . Стандартное отклонение .

Асимметрия равномерного распределения равна нулю , эксцесс равен .

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал определяется по формуле:

(6.3)

6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью вероятностей:

, (6.4)

г



де - постоянная и называется параметром показательного распределения. График плотности распределения представлен на рисунке 6.3.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна:

(6.5)

График функции распределения приведен на рисунке 6.4.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно M(X)= . Медиана – . Дисперсия – D(X)= . Среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием и равно (X)= . Коэффициент асимметрии равен A(X)=2, эксцесс – Е(Х)=6.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал определяется по формуле:

(6.6)