Глава 4. Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, т.е. числовой функцией , определенной на пространстве элементарных событий .

4.1. Дискретные случайные величины.

Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется дискретной.

С лучайные величины обозначаются буквами греческого алфавита: X, Y, Z,   Значения случайной величины записываются в виде конечной или бесконечной последовательности x₁, x₂,, x_n,

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел , т.е. её возможных значений и соответствующих им вероятностей, причем

Случайная величина как любая функция имеет три способа задания: табличный или в виде ряда распределения:

X	х1	х2	х3		хn
P	P1	p2	p3		pn

графический или в виде многоугольника распределения (рис. 4.1) и аналитический в виде формулы .

4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

1. Математическое ожидание.

Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется формулой

(4.1)

Математическое ожидание – это неслучайная детерминированная величина, описывающая центр распределения.

Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равна вероятности этого события.

Статистический смысл математического ожидания. Математическое ожидание является приближенной оценкой наивероятнейшего значения случайной величины. Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины при может служить оценкой математического ожидания.

(4.2)

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина Х принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть Х  С, то её математическое ожидание равно С.

(4.3)

2. Математическое ожидание произведения случайной величины Х на постоянную С, равно произведению математического ожидания случайной величины на постоянную С.

М(СХ) = СM(Х) (4.4)

3. Математическое ожидание суммы случайной величины и постоянной равно сумме постоянной и математического ожидания случайной величины:

(4.5)

4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

. (4.6)

5. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий.

. (4.7)

2. Дисперсия случайной величины.

Дисперсия случайной величины D(Х) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

D(Х) = M(Х – M( Х))² (4.8)

Часто для нахождения дисперсии используется формула:

D(X)= M(X² )– M²(X) (4.9)

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной равна 0.

D(С) = 0. (4.10)

2. Дисперсия произведения случайной величины Х на постоянную С равна произведению дисперсии случайной величины Х на квадрат постоянной:

D(СХ) =С² D(Х). (4.11)

3. Если случайные величины X и Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий:

(4.12)

Следствие: Для попарно независимых случайных величин Х₁, Х₂,, Х_n справедливо равенство

(4.13)

4. Дисперсия случайной величины не изменится, если к ней прибавить постоянную:

(4.14)

5. Дисперсия суммы (разности) двух зависимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий плюс (минус) две ковариации случайных величин X и Y:

. (4.15)