
- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
Глава 4. Дискретные случайные величины
Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайная
величина является числовой характеристикой
результата эксперимента, т.е. числовой
функцией
,
определенной на пространстве элементарных
событий
.
4.1. Дискретные случайные величины.
Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется дискретной.
С
лучайные
величины обозначаются буквами греческого
алфавита: X, Y,
Z,
Значения случайной
величины записываются в виде конечной
или бесконечной последовательности
x1, x2,, xn,
Законом
распределения дискретной
случайной величины
Х называется
совокупность пар чисел
,
т.е. её возможных значений и соответствующих
им вероятностей, причем
Случайная величина как любая функция имеет три способа задания: табличный или в виде ряда распределения:
X |
х1 |
х2 |
х3 |
|
хn |
P |
P1 |
p2 |
p3 |
|
pn |
графический
или в виде многоугольника
распределения
(рис. 4.1) и
аналитический в виде формулы
.
4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
1. Математическое ожидание.
Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется формулой
(4.1)
Математическое ожидание – это неслучайная детерминированная величина, описывающая центр распределения.
Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появления событий в одном испытании равна вероятности этого события.
Статистический
смысл математического ожидания.
Математическое
ожидание является приближенной оценкой
наивероятнейшего значения случайной
величины. Среднее арифметическое
наблюдаемых значений случайной величины
при
может служить оценкой математического
ожидания.
(4.2)
Свойства математического ожидания.
Если случайная величина Х принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть Х С, то её математическое ожидание равно С.
(4.3)
Математическое ожидание произведения случайной величины Х на постоянную С, равно произведению математического ожидания случайной величины на постоянную С.
М(СХ) = СM(Х) (4.4)
Математическое ожидание суммы случайной величины и постоянной равно сумме постоянной и математического ожидания случайной величины:
(4.5)
Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
. (4.6)
Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий.
. (4.7)
2. Дисперсия случайной величины.
Дисперсия случайной величины D(Х) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
D(Х) = M(Х – M( Х))2 (4.8)
Часто для нахождения дисперсии используется формула:
D(X)= M(X2 )– M2(X) (4.9)
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Свойства дисперсии.
Дисперсия постоянной равна 0.
D(С) = 0. (4.10)
Дисперсия произведения случайной величины Х на постоянную С равна произведению дисперсии случайной величины Х на квадрат постоянной:
D(СХ) =С2 D(Х). (4.11)
Если случайные величины X и Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий:
(4.12)
Следствие: Для попарно независимых случайных величин Х1, Х2,, Хn справедливо равенство
(4.13)
Дисперсия случайной величины не изменится, если к ней прибавить постоянную:
(4.14)
Дисперсия суммы (разности) двух зависимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий плюс (минус) две ковариации случайных величин X и Y:
. (4.15)