Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей

2.1 Сложение и умножение вероятностей

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий: Вероятность суммы двух несов­местных событий равна сумме веро­ятностей этих событий:

. (2.1)

Свойства:

1. Вероятность суммы n несовместных событий , равна сумме вероятностей этих событий:

2. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

. (2.2)

3. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице:

. (2.3)

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:

, . (2.4)

Вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Свойства:

1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

.

В частности, для трех событий получаем

.

2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (2.5)

3. Если события независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

В частности, для трех независимых событий получаем

.

4. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

(2.6)

Если независимые события имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

. (2.7)

Теорема сложения вероят­ностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

. (2.8)

2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. События называют гипотезами. Вероятность события равна сумме произведений вероятности каждой из гипотез, образующих полную группу, на соответствующую условную вероятность события при этой гипотезе, т.е.

. (2.9)

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез , вероятности которых известны до опыта (априорные вероятности). Произведен опыт (испытание), в результате которого появилось событие . Спрашивается, как изменились, в связи с тем, что собы­тие уже наступило, вероятности гипотез. Согласно формулам Байеса, условные вероятности гипотез относительно события (апостериорные вероятности) определяются формулами

(2.10)

или ,

где –формула полной вероятности.

Примеры решения задач

2.1. В группе студентов 4 отличника, 9 студентов учатся на «хорошо» и «отлично» и 12 студентов учатся на «хорошо» и «удовлетворительно». Из группы берут 3 студентов последовательно без возвращения. Какова вероятность того, что все три студента – отличники?

Решение: Обозначим события: событие – «все три выбранных студента – отличники». Данное событие сложное, оно состоит из трех событий: взяли первого студента отличника, и второго выбрали – отличника, и третьего студента выбрали тоже отличника. Пусть событие В – «выбрали отличника». Тогда событие , т.е. имеем произведение событий. События зависимы, тогда:

Вероятность выбора первого студента отличника . Вероятность второго студента тоже отличника, вычисленная в предположении, что первый студент был отличник . Вероятность выбора третьего студента отличника, если два первых были отличники, равна . Тогда находим искомую вероятность:

2.2. Студент в летнюю сессию должен сдать три экзамена. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; вероятность, что сдаст второй – 0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст: а) все три экзамена; б) только первый экзамен; в) только один экзамен; г) хотя бы два экзамена.

Решение: Обозначим события: событие – «студент сдаст первый экзамен»; событие – «студент сдаст второй экзамен»;

событие – «студент сдаст третий экзамен». События независимы.

а) Пусть событие – «студент сдаст все три экзамена», т.е. . События независимы, поэтому получаем

.

б) Пусть событие – «студент сдаст только первый экзамен». Событие произойдет, если произойдет совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст первый экзамен и не сдаст второй и третий экзамены, т.е. . Тогда

.

в) Пусть событие – «студент сдаст только один экзамен из трех». Событие произойдет, если студент сдаст только первый экзамен и не сдаст второй и третий; или только второй экзамен и не сдаст первый и третий; или только третий экзамен и не сдаст первый и второй экзамены, т.е.

г) Для события – «студент сдаст хотя бы два экзамена», противоположным является событие – «студент сдаст не более одного экзамена». Получаем . Событие произойдет, если студент не сдаст ни одного экзамена из трех (событие ) или сдаст только один экзамен (событие ), т.е. . Найдем вероятность события :

Тогда .

Искомая вероятность .

2.3. В магазин поступили телевизоры от трех поставщиков. От первого поставщика 13, от второго 20, от третьего 22 телевизора. Телевизоры, поступающие от первого поставщика, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второго – в 11%, от третьего – в 7% случаев.

1) Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор.

Решение.

1) Событие – наудачу взятый телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. От чего это зависит? Это зависит, от какого поставщика данный телевизор. Возможны гипотезы: – телевизор поступил в магазин от первого поставщика; – от второго; – от третьего поставщика.

Найдем вероятности данных гипотез:

; ; .

Условные вероятности события относительно каждой из гипотез заданы в условии задачи: ; ; .

Воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем

2) Произошло событие – телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Для нахождения вероятностей гипотез воспользуемся формулой Байеса:

Таким образом, наиболее вероятно, что телевизор поступил от второго поставщика.