1.3. Классическое определение вероятности

Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов испытания, в котором может появиться это событие. Вероятность события обозначается и, в соответствии с определением, определяется формулой

, (1.2)

где т – число элементарных исходов, благоприятствую­щих событию ; п –число всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим.

Вероятность события имеет следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Для достоверного события , поэтому .

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Для невозможного события т = 0, следовательно, .

3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, заключенным между нулем и еди­ницей.

.

4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

.

Для расчета всевозможных и благоприятных исходов можно использовать формулы комбинаторики.

Если число всевозможных и благоприятных исходов подсчитать невозможно для определения вероятность появления события используют статистическое определение вероятности:

Вероятность появления события А есть достоверный предел относительной частоты при стремлении числа испытаний к бесконечности:

. (1.3)

1.4. Элементы комбинаторики

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах.

Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок из п элементов обозначают ; это число равно

, где =123...n. (1.4)

Замечание. По определению полагают 0!=1.

Сочетаниями называют множества, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из k элементов по т определяется формулой

. (1.6)

Замечание. По определению полагают .

Размещениями называют множества, составленные из п различных элементов по k элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой

. (1.5)

Замечание 3. Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

. (1.5)

При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+ n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n спо­собами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана т п способами.

Примеры решения задач

1.1. В урне 20 одинаковых по размерам и весу шаров, из ко­торых 5 красных и 15 синих. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?

Решение. Испытание состоит в том, что извлекается один шар. Испытание имеет 20 равновозможных элементарных исходов. Событие – извлеченный шар оказался красным. Этому событию благоприятствуют 5 исходов испытания. В соответствии с формулой (1.2) получаем

.

1.2. Из слова «автоматика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква «а»?

Решение. Так как буква выбирается наудачу, то все исходы испытания равновозможны. Событие – выбранная буква есть буква «а». В слове «автоматика» 10 букв, из них 3 буквы «а». Следовательно, .

1.3. В лотерее 1000 билетов. На два билета падает выигрыш по 500 руб., на четыре билета – выигрыш по 200 руб., на десять билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыш по 50 руб., на 100 билетов – выигрыш по 10 руб., на 200 билетов – выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 50 руб.?

Решение. Испытание состоит в том, что извлекается один билет. Так как билет вытягивается наудачу, то все исходы испыта­ния равновероятны и, кроме того, они несовместны. Число воз­можных исходов испытания равно 1000. Событие А – выигрыш по билету не менее 50 руб. Этому событию благоприятству­ют 2+4+10+50=66 исходов испытания. Следовательно, искомая вероятность равна .

1.4. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность того, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 10 очков.

Решение. В этом испытании всего равновозможных элемен­тарных исходов. Событие – сумма очков на верхних гранях кубиков равна 10. Этому событию благоприятствуют 3 исхода: (4;6),(5;5),(6;4), поэтому

.

1.5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, Л, Б, Т, Е. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БИЛЕТ?

Решение. Из пяти различных элементов можно составить перестановок. Всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – один. Следовательно, .

1.6. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

Решение. Событие – «среди пяти выбранных билетов два выигрышных». Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 5 билетов из 50, т.е. числу сочетаний . Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Два выигрышных билета из восьми выигрышных можно взять способами, при этом остальные 5–2=3 билета должны быть не выигрышными и их взять из 50–8=42 не выигрышных билета можно способами. Следова­тельно, число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприят­ствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

.

1.7. В цветочном магазине в вазе стоят 15 красных, 9 розовых и 6 белых роз. Наугад вынимают 6 роз. Какова вероятность того, что вынуты 1 белая, 2 розовых и 3 красных розы?

Решение. В вазе всего 30 роз. Число всех равновозможных элементарных исходов будет . Событие состоит в том, что из шести вынутых из вазы роз одна будет белой, две розовые и три красных розы. Одну белую розу из шести можно выбрать способами, две розовые розы из 9 можно выбрать способами, три красных розы из 15 – способами. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию А, будет . Тогда искомая вероятность равна

.