Примеры решения задач
6.1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
Решение: Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x)=1/(b—а), где (b—а)—длина интервала, в котором заключены возможные значения Х; вне этого интервала f(x)=0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому f(x)=1/0,1=10. Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).
По
формуле Р (а
< Х <b)=
получим
Р
(0,02 < Х <
0,08)=
0,6.
6.2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Решение: Воспользуемся формулой (6.10б)
.
Подставив
,
,
а =10
и
=2,
получим
Р (12 < Х < 14)= Ф(2)—Ф(1).
По таблице приложения 2 находим: Ф(2)=0,4772, Ф(1)=0,3413. Искомая вероятность Р (12 < Х < 14)=0,1359.
6.3. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением =0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Решение: Так как Х—отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то М(Х)=а=0.
Воспользуемся
формулой (6.11б)
.
Подставив
,
получим
.
Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.
6.4.
Непрерывная случайная величина Х
распределена по показательному
закону, заданному плотностью вероятности
f(x)
при
;
при x<0
функцией
f(x)=0.
Найти вероятность того, что в результате
испытания Х
попадает в
интервал (0,13,
0,7).
Решение: Используем формулу (6.6)
Учитывая,
что, по условию,
,
,
получим
Р(0,13
< Х < 0,7)=
=0,677—0,122=0,555.