2.4 Построение частотных характеристик

Подавая на вход системы гармонические колебания с одной и той же амплитудой, но с различными частотами, на выходе системы тоже получаем гармонические колебания с теми же частотами, но различными амплитудами и фазами относительно входных колебаний.

Частотные характеристики широко используются в инженерной практике при анализе, синтезе и расчете АСР. Особым их достоинством является то, что их можно получить экспериментальным путем. Это особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за их сложности или малоизученности объекта с точки зрения математического описания технологического процесса.

Частотными характеристиками звена называют зависимость амплитуды и фазы синусоидальных колебаний от частоты, при прохождении этих колебаний через звено. Различают АЧХ (амплитудно-фазовая характеристика), АФХ (амплитудно-фазовая характеристика), ФЧХ (фазо-частотная характеристика), ВЧХ (вещественно- частотная характеристика), КЧХ (качественно-частотная характеристика).

2.4.1 Построение амплитудно–фазовой характеристики замкнутой системы автоматического управления

Отношение выходной величины системы к входной величине, выраженное в комплексной форме называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или амплитудно–фазовой характеристикой (АФХ) системы.

Амплитудно–фазовая характеристика системы не зависит от времени. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах. Однако, несмотря на то что АФХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства, подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям.

ПРИМЕР:

Для получения АФХ не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции звена или системы W(р) заменить переменную р на j, получим

W(iω)=(006iω⁵-57.6ω⁴+5773.4iω³-4042ω²-58200iω+360000)/ /(0.000001ω⁸+ +94.084ω⁶-1936.79ω⁴+1287ω²+360000)

Выделим действительную и мнимую части АФХ:

Действительная часть АФХ:

P(ω)=(-57.6ω⁴-4042ω²+360000)/(0.000001ω⁸+94.084ω⁶-1936.79ω⁴+ +1287ω²+360000)

Мнимая часть АФХ:

Q(iω)=(006ω⁵+5773.4ω³-58200ω)/(0.000001ω⁸+94.084ω⁶-1936.79ω⁴+ +1287ω² +360000)

Задаваясь различными значениями  от 0 до +  , получаем координаты для каждой точки АФХ. Для этого построим таблицу 2.2.

Таблица 2.2 – Координаты точек для построения АФХ

ω	P(ω)	Q(iω)
0	1	0
1	0.9901406	-0.1458379
2	1.0080242	-0.2058341
3	1.1258997	-0.0609276
4	1.0386482	0.5287651
5	0.3420821	0.6895728
6	0.061176	0.4132011
7	0.0034559	0.244634
8	-0.007839	0.1564673
9	-0.0091457	0.1069813
10	-0.0082468	0.0770083
+ 	0	0

Теперь по полученным точкам построим график АФХ.

КЧХ – отношение выходной величины системы к входной величине, выраженное в комплексной форме. Комплексная частотная характеристика системы не зависит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то КЧХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Для построения КЧХ берется передаточная функция замкнутой системы. В ней оператор p заменим на j и выделим мнимую и действительную части.