3. Переходные процессы в цепи rl.

Цепь RL подключается к источнику внешнего напряжения в момент t=0. Определим ток при t>0.

Рисунок 1.2

Запишем для цепи уравнение по II закону Кирхгофа

(1)

Имеем дифференциальное уравнение I-го порядка

(2)

Решение дифференциального уравнения представляется как сумма свободной и вынужденной составляющих (вынужденная или принужденная составляющая):

(3)

Свободная составляющая тока представляет решение однородного уравнения:

(4)

Его характеристическое уравнение имеет вид: .

Корень этого уравнения: . (5)

Тогда решение для свободной составляющей принимает вид:

(6)

Свободная составляющая известна, а вынужденная определяется видом внешнего воздействия e(t).

Рассмотрим два случая: включение RL - цепи на постоянное на синусоидальное напряжение.

3.1) Включение в цепь rl постоянного напряжения .

Рисунок 1.3

На входе действует скачок напряжения.

Ток в цепи

(7)

Вынужденная составляющая равна току установившегося процесса

(8)

Следовательно

(9)

Определим коэффициент А из начальных условий.

Из 1-го закона коммутации следует, что при t=0, i=0.

Тогда: . (10)

Получаем окончательно

(11)

График изменения тока в цепи при включении постоянного напряжения:

Рисунок 1.4

Напряжения на активном сопротивлении и индуктивности изменяются по следующим законам:

(12)

(13)

График изменения U_R(t) и U_L(t) имеют следующий вид :

Рисунок 1.5

Оба напряжения изменяются по экспоненциальному закону, причем U_R(t) ─ нарастающая экспонента, U_L(t) ─ спадающая экспонента.

При t=0, i=0; всё входное напряжение приложено к индуктивности U_L(0)= U₀, а падение напряжения на активном сопротивлении U_R(0)=0.

По мере увеличения тока увеличивается U_R, а напряжения U_L уменьшается: U_L= U₀- U_R ; U₀= U_L+ U_R.

Определим скорость нарастания тока в цепи RL. Для этого определим производную при t=(0+):

τ_L ─ постоянная времени , характеризует скорости изменения физической величины в начальный момент времени: .

Чем больше τ_L , тем медленнее нарастает ток в цепи, тем медленнее протекают переходные процессы.

За время t = свободный ток і_св уменьшается в е раз

где е=2,718…

Ток переходного процесса

τ_L есть абсцисса пересечения касательной в начальной точке с линей і=I.

Рисунок 1.6