Анализ переходных процессов в электрических цепях.

1.Определения. Законы коммутации.

Для радиотехнических цепей характерны два режима работы: стационарный и переходный.

Стационарный режим (или установившийся) характеризуется тем, что токи и напряжения на всех участках цепи в течении длительного времени остаются постоянными или изменяются по периодическому закону.

Перехо́дный режим или перехо́дный процесс характеризует переход цепи от одного стационарного состояния к другому стационарному состоянию.

Переходные процессы возникают в результате включения цепи к источнику энергии, внезапным изменением параметров цепи, включением и отключением пассивных и активных ветвей, коротким замыканием отдельных участков цепи и т.д.

Указанные изменения в цепях называются коммутациями.

Переход цепи от одного стационарного режима к другому происходит в течении некоторого интервала времени, который и определяет длительность переходных процессов.

Конечная длительность переходных процессов обусловлена наличием в цепи реактивных элементов, и, особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах.

Эти особенности определяются законами коммутации.

1Й закон коммутации

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменятся именно с этих значений.

т.е. (1)

2Й закон коммутации

В любой ветви с ёмкостью, напряжение и заряд на ёмкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная именно с этих значений

т.е. (2)

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут изменяться мгновенно потому, что запасённая в этих элементах энергия

; , (3)

не может изменяться скачком, т.к.это будет характеризовать бесконечно большую мощность ( ) , что лишено физического смысла.

Существуют различные методы расчета переходных процессов:

1) Классический; 2) операторный; 3) метод интеграла Дюамеля;

4) спектральный метод и др.

Классический метод анализа переходных процессов.

2. Общие решения.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в решении дифференциальных уравнений, составленных для послекоммутационной схемы. Обычно эти уравнения составляются по законам Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов.

Рассмотрим цепь R, L, C при воздействии e(t).

Рисунок 1.1

Запишем II закон Кирхгофа:

(1)

где i ─ток переходного процесса.

Преобразуем уравнение (1): продифференцируем и разделим на L:

(2)

Получили дифференциальное уравнение 2^го порядка.

Для произвольной цепи переходные процессы в ней описываются следующим уравнением:

, (3)

Здесь: y(t) ─ искомая функция;

F(t) ─ воздействие;

a₀, a₁,…a_n ─ коэффициенты.

Известно, что решение линейного дифференциального уравнения с правой частью представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

(4)

где y₁(t) ─ частное решение исходного уравнения

y₂(t) ─ решение однородного уравнения(без правой части):

(5)

Функция y₁(t) зависит от вида внешнего вынуждающего воздействия и называется вынужденной составляющей:

(6)

Она определяет установившееся значение искомой величины.

Функция y₂(t) характеризует процессы в цепи при отсутствии воздействия; эти процессы протекают за счет энергии, накопленной в цепи, и называется собственной или свободной составляющей:

(7)

Таким образом, переходный процесс в цепи складывается из вынужденной и свободной составляющих токов и напряжений.

(8)

Обе составляющие связаны между собой начальными условиями.