2.3 Метод законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа (МЗК) является наиболее общим методом расчета электрических цепей. Он основан на решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа относительно реальных токов в ветвях рассматриваемой цепи. Общее количество уравнений должно быть равно числу неизвестных токов (т.е. числу ветвей схемы, не содержащих источников тока).

Метод законов Кирхгофа предполагает:

1. Определение количества ветвей схемы p . Если в схеме есть s ветвей с источниками тока, ток в этих ветвях уже известен. Тогда в задаче необходимо определить (p-s) токов. В каждой ветви произвольно выбирают положительное направление тока и обозначают его стрелкой.

2. Определение количества узлов схемы q.

3. Определение количества независимых контуров схемы m. Оно равно числу ячеек схемы: . В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода и обозначают его стрелкой. Контуры выбирают так, чтобы они не проходили через ветвь с источником тока.

4. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов и уравнений по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Ток источников тока входит только в уравнения по первому закону Кирхгофа. Общее количество расчетных уравнений равно (p-s). Решение системы уравнений сразу дает значения всех искомых токов цепи.

Некоторые из полученных значений токов могут оказаться отрицательными. Это значит, что истинное направление тока в ветви противоположно первоначально выбранному условному направлению.

Составим систему уравнений для цепи, приведенной на рис.2.9.

В схеме 6 ветвей (р=6), ветвей с источником тока нет (s=0), т.е. необходимо определить 6 токов. Количество узлов q=4. Количество независимых контуров m=3.

Выбираем контуры по ячейкам схемы. Задаемся положительными направлениями токов и обхода контуров. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа и остальные 3 уравнения по второму закону Кирхгофа:

Рисунок 2.9

.

Решение данной системы даст значения искомых токов …. .

Рассмотрим еще один пример для цепи с идеальным источником тока (рис.2.10). В схеме также 6 ветвей (р=6), но одна ветвь — с источником тока (s=1), т.е. неизвестными являются 5 токов. Количество узлов q=4. Задаемся положительными направлениями токов. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Остальные 2 уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа. Для этого выбираем два независимых контура, не проходящие через ветвь с идеальным источником тока J₆ .

Рисунок 2.10

Система уравнений будет иметь вид:

В случае, если дополнительно требуется определить напряжение на зажимах аb идеального источника тока, входящего в рассматриваемый контур, после решения системы уравнений составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для контура с источником тока, в которое в качестве неизвестного входит слагаемое , соответствующее участку с идеальным источником тока.

Основное преимущество метода законов Кирхгофа в том, что его можно применять для расчета сложных линейных и нелинейных цепей. Недостаток метода состоит в том, что при расчете сложных цепей приходится решать громоздкую систему уравнений.

Проверка правильности решения может выполняться двумя путями — подстановкой полученных решений в исходные уравнения либо путем составления баланса мощностей.

Баланс мощностей. Баланс мощностей по сути отображает закон сохранения энергии в электрической цепи. Он предполагает равенство мощности, развиваемой источниками энергии данной цепи, и мощности, потребляемой всеми приемниками этой же цепи. Напомним, что мощность, развиваемая источником ЭДС на участке цепи ab, определяется как , а источника тока . Величина мощности положительна в случае, если знаки сомножителей совпадают, т.е. направление действия источника и тока (напряжения) в ветви совпадают. При противоположных направлениях мощность источника отрицательна. Таким образом, при составлении баланса мощностей сумма мощностей, развиваемых источником, является величиной алгебраической. Сумма мощностей, потребляемых приемниками, является арифметической: .

Для примера составим баланс мощностей для цепи, приведенной на рис.2.10 :

.

Баланс мощностей обычно составляется для проверки правильности решения электротехнических задач.