2-й вариант

Тема 2. Линейные электрические цепи постоянного тока

2.1 Основные законы линейных электрических цепей

Аналитические методы расчета линейных электрических цепей постоянного и переменного тока основаны на следующих законах:

— закон Ома (для ветви или одноконтурной замкнутой цепи);

— первый закон Кирхгофа (для узла);

— второй закон Кирхгофа (для контура).

При записи уравнений по этим законам необходимо произвольно задать положительное направление тока в ветвях и направление обхода в контурах.

Закон Ома. Закон Ома применительно к пассивной ветви имеет вид (рис.2.1а):

,

а для активной ветви (рис.2.1б) : .

Если на схеме (рис.2.1б) ЭДС направить навстречу току, то . Обобщенный закон Ома для участка цепи ав : ,

а) б)

Рисунок 2.1 — Пассивная (а) и активная (б) ветви электрической цепи

где суммы падений напряжения и ЭДС в ветви — алгебраические (знак слагаемого определяется с учетом направления тока), а сумма сопротивлений — арифметическая (без учета знака). Падение напряжения и ЭДС входят в сумму со знаком «+» при совпадении с выбранным направлением тока, со знаком «-» при противоположных направлениях.

Для примера запишем обобщенный закон Ома для активной ветви, изображенной на рис.2.2.

На участке ав происходит падение напряжения . Далее потенциал скачком увеличивается на величину , снова понижается на , а затем на (ЭДС направлена против тока).

Определим потенциал в конечной точке е : .

Получим или окончательно .

Рисунок 2.2 — Активная ветвь и изменение потенциала в ней

Закон Ома для замкнутой одноконтурной цепи : .

Запишем закон Ома для цепи, приведенной на рис. 2.3: .

На рис.2.3 обход был начат из точки а, потенциал которой был условно выбран нулевым. На потенциальной диаграмме показано, что потенциал в начальной и конечной точке совпадает. Это подтверждает тот физический факт, что при обходе контура и возврате в исходную точку потенциал этой точке не может измениться, иначе был бы нарушен закон сохранения энергии.

Рисунок 2.3 — Замкнутая одноконтурная цепь и распределение потенциала

в ней (потенциальная диаграмма)

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

,

где п — количество ветвей, подключенных к узлу.

Токи, направленные к узлу, входят в сумму со знаком «+», от узла — со знаком «-». Этот закон можно сформулировать и следующим образом: сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла. Это подтверждает физическую закономерность: в узле не должно происходить накопления зарядов.

Применительно к фрагменту цепи, приведенному на рис.2.4, первый закон Кирхгофа запишется так:

либо .

Если в ветви есть источник тока, то ток ветви равен току этого источника.

Рисунок 2.4 — Узел электрической цепи

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на всех ветвях рассматриваемого контура равна нулю:

.

Другая формулировка: Алгебраическая сумма падений напряжений на всех сопротивлениях данного контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

.

Знак падения напряжения и ЭДС сопоставляется с направлением обхода контура. Падение напряжения записываются со знаком «+» при совпадении направления тока в соответствующей ветви с выбранным направлением обхода контура, со знаком «-» при противоположных направлениях. ЭДС принимаются положительными при совпадении их направления с направлением обхода контура.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа применительно к контуру, приведенному на рис.2.5. В соответствии с выбранным направлением обхода контура токи I₂ и I₃ , а значит, и падения напряжения на сопротивлениях R₂ и R₃ входят в левую часть уравнения со знаком «+» ; падения напряжения на сопротивлениях R₁ и R₄ входят в левую часть уравнения со знаком «-».

Рисунок 2.5 — Контур электрической цепи

В правую часть запишем алгебраическую сумму ЭДС. Направление ЭДС Е₁ и обхода контура совпадают (знак ЭДС «+»), а ЭДС Е₂ — противоположно обходу (знак ЭДС «+») :

.

Если хотя бы в одну ветвь контура входит идеальный источник тока, то уравнение по второму закону Кирхгофа не может быть составлено, т.к. источник тока имеет бесконечно большое сопротивление (разрыв в контуре).