5. Ддф двойной длины.

Пусть z(i) - комплексная последова­тельность, i = 0,1,…,(n-1). Преобразуем ее в две другие, вдвое меньшей размерности, следующим образом:

a(i) = z(2i); b(i) = z(2i + 1); i = 0,1,…,(n-1).

Затем проведем преобразования:

В соответствии с 1-м и 2-м свойствами ДПФ искомую последова­тельность значений преобразования Фурье получают по формулам

В случае физиологических сигналов действительная и мнимая части последовательности z(i) заполняются двумя действительными последовательностями x(i) и y(i), частотные образы которых затем восстанавливаются в соответствии с 3-м свойством ДПФ.

6. Обратное дпф половинной длины.

Так как ДПФ действительной последовательности длины N симметрично относительно точки N/2, то при обратном преобразовании Фурье вторая половина последовательности может быть отброшена. На атом соображении основано вычисление обратного ДПФ половинной длины. Сначала вы­числяется последовательность U(k) по формуле

Z(k) - последовательность длиной N, которая является ДПФ последовательности z(i).

Обратное преобразование для Z(k) в соответствии с 1-м и 2-м свойствами ДПФ проводится по формулам

7. Сопряжённая формула обращения.

Обратное ДПФ можно про­извести о помощью формулы для прямого ДПФ:

(черта сверху означает комплексное сопряжение); n = 0,…,(N-1).

На практике для экономии машинного времени вместо ДПФ не­обходимо применять быстрое преобразование Фурье (БПФ), оформ­ленное в виде стандартной подпрограммы FFT на языке FORTRAN-77.

Обращение к подпрограмме следующее: CALL FFT(Х, Y, N), где

X - комплексное имя массива, в котором записана исходам комплексная последовательность длиной N ( N = 2ⁿ, где n - любое число натурального ряда);

У - имя комплексного массива, куда должен быть помещён частотный образ последовательности X .

Быстрое преобразование Фурье производится по алгоритму Кули-Тьюки и сохраняет все вышеперечисленные свойства ДПФ.

Последовательность действий при проведении ковариационного ц кросо-спектрального анализов электроэнцефалограмм на эвм типа pc

1. В соответствии о теоремой Котельникова перевести анало­говый ЭЭГ-сигнал в цифровую форму. При этом помнить, что макси­мальная значащая частота ЭЭГ равняется 30 Гц (следовательно, f_{квантования} ≥ 2f_MAX = 60 Гц), а минимальная 0,6 Гц (чтобы получить полный спектр, длина записи T должна быть не менее 2 с).

2. Полученные цифровые последовательности записать в массивы x(t) и y(t) длиной N = T∙ f_{квантования}, при этом N = 2^k, где k - целое число.

3. Последовательности x(t) и y(t) дополнить нулями до длины 2N:

4. Из двух действительных последовательностей x*(i) и y*(i) (i=0,…,(2N-1)) составить одну комплексную последовательность z*(i) , которую, в свою очередь, разложить на две комплексные последовательности длиной

a(i) = z(2i) и b(i) = z(2i+1).

5. Перевести последовательности a(i) и b(i) в частотную область при помощи БПФ:

6. По последовательностям А(k) и B(k) восстановить по­следовательности Х(k) и У(k), являющиеся частотными отобра­жениями последовательностей x(i) и y(i):

Затем восстанавливаются

* - знак комплексного сопряжения. Необходимо помнить, что Х(k) и У(k) являются комплексными последовательностями. Их модуль вычисля­ется по формулам:

На практике чаще используются спектры мощности, равные и .

7. Определить функцию плотности кросс-спектра

Спектры мощности и , а также кросс-спектр вывести на печать.

8. Осуществить обратное преобразование Фурье для функции кросс-спектра следующим образом:

Далее определить функцию U*(k), комплексно-сопряженную U(k), и произвести прямое Фурье-преобразование U*(k): u*(t) = БПФ(U*(k)).

Затем найти обратное преобразование функции u(y) = (u*(t))* как комплексно-сопряженное к u*(t).

Восстановить обратное преобразование Фурье для функции Z(k) :

Полученная действительная последовательность z(i) имеет раз­мерность 2N, но в результате добавления в начале алгоритма к исходным последовательностям x(i) и y(i) нулей информативными будут только первые N элементов последовательности.

9. Определить ковариационную функцию при i = 0,…,(N-1). Значения функции вывести на печать.