Корреляционный и кросс-спектральвий анализ электроэнцефалограммы.

При спектральном анализе ЭЭГ исследователю обычно необходи­мо узнать:

а) частотный состав электроэнцефалографического сигнала в наличных точках поверхности головы и то, каким образом он из­меняется во времени;

б) есть ли взаимосвязь активности различных отделов коры головного мозга при определенных функциональных нагрузках; если она обнаруживается, то каков способ распространения воз­буждения во времени.

Для решения подобного рода задач надо провести следующие математические преобразования:

а) дискретизацию и оцифровку аналогового электроэнцефалографического сигнала без искажения и потери информации;

б) разложение полученной временной последовательности в ряд Фурье с помощью дискретного преобразования Фурье;

в) корреляционный анализ частотных характеристик ЭЭГ раз­личных отделов головного мозга;

г) обратное преобразование Фурье для определения времен­ных ковариационных функций соответствующих пар регистрируемых сигналов.

Чтобы алгоритмизировать вышеперечисленные действия с ми­нимальными затратами машинного времени и оперативной памяти, необходимо знать свойства дискретного преобразования Фурье для одной и нескольких функций.

Дискретное преобразование Фурье.

Рассмотрим пару взаимно однозначных преобразований:

(1)

(2)

где x(nT) - последовательность из N вре­менных отсчетов с периодом T ;

x(k) при k = 0,…,(N-1) - последовательность из N частотных отсчетов. Они называются дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ).

Преобразование (1) является прямым, а преобразование (2) -обратным ДПФ (ОДПФ).

Свойства дискретного, преобразования Фурье

1. Линейность.

Если X(k) и Y(k) есть ДПФ последователь­ностей x(nT) и y(nT) соответственно, то ДПФ последовательно­сти ax(nT)+by(nT), где a и b – const, равно aX(nT)+bY(nT).

2. Сдвиг.

Пусть Х(k) - ДПФ последовательности x(nT), а последовательность y(nT) получается из последовательности путем кругового сдвига на n₀ отсчётов. Тогда ДПФ последовательности y(nT) равно

Аналогичный результат справедлив для сдвига ДПФ. Если Х(k) и Y(k) есть ДПФ последовательностей x(nT) и y(nT) соответст­венно и Y(k) = X(k-k₀), то

3. Симметрия.

Если последовательность x(nT) является действительной, то ее ДПФ удовлетворяет следующим условиям сим­метрии:

ДПФ симметричной последовательности x(nT) = x((N-n)T) является действительным.

Свойство симметрии позволяет о помощью одного ДПФ преобразовать одновременно действительные последовательности x(nT) и y(nT), имеющие ДПФ соответственно X(k) и Y(k), а последовательность u(nT) = x(nT) + jy(nT) имеет ДПФ U(k) = X(k) + jY(k).

Тогда

4. Круговая свертка.

Пусть x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно. Если последовательность u(nT) равна круговой свёртке последовательностей x(nT) и y(nT) и

то её ДПФ равно U(k) = X(k)∙Y(k).

Если x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно, то ДПФ последовательности u(nT) = x(nT)y(nT) равно (с точностью до постоянного множителя) круговой свертке Х(k) и Y(k):

Для нас очень важно одно следствие данного свойства:

Если x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно, то ДПФ ковариационной последовательности

будет равно

где * означает комплексную сопряженность.

Последовательность S_xy(k) называется кросс-спектром последова­тельностей X(k) и Y(k). Обратное ДПФ кросс-спектра дает вре­менную ковариационную функцию

Поскольку для вычисления ковариации во временной области требу­ется произвести N(N-1)/2 умножений, а в частотной - лишь N/2 (вследствие симметричности спектра), то обычно сначала опреде­ляют кросс-спектральную последовательность, а затем находят ее образ во временной области, куда она отображается в вида кова­риационной последовательности.

Однако следует помнить, что в силу конечности преобразова­ния при обратном ДПФ получается не ковариационная, а круговая ковариационная функция :

Для того, чтобы получить истинную ковариационную функцию, ис­ходные последовательности x_i, y_i, i =0,1,…,(n-1) необ­ходимо дополнить нулями до размерности 2N-1.