6.3 Правило дифференцирования сложной функции
Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 6.2. Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х0 = φ(t0), то сложная функция f(φ(t)) имеет производную в точке t0, причём имеет место следующая формула
у'(t0) = f '(x0) φ'(t0).
Пример 6.4.
Вычислить
у',
если у
=
.
Решение.
Данную функцию можно представить в
виде у
=
,
где
.
Тогда по теореме 6.2 у'(
)
= у'(
)
'(
)
= (
)'
(
)'
= =
=
.
Замечание 6.1. В теореме 6.2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.
Пример 6.5. Вычислить производную функцию у = tg2( 2+1).
Решение.
Данную функцию можно представить в
виде у =
2,
= tg
,
=
2+1.
Тогда
у'(
)
= у '(
)
'(
)
'(
)
= (
2)'
(tg
)'
(
2+1)'
= =
tg
.
Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
6.4 Производная n-го порядка
Определение 6.4. Назовём f '(х) производной первого порядка функции у = f(x), дифференцируемой на некотором промежутке ( ). Производная от f '(х) называется производной второго порядка функции у = f(x) и обозначается f ''(x). Производная от f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у(4), у(5),…, у(n),… . Итак, по определению
у(n) = (у(n – 1))' , n = 2, 3, … .
Пример
6.6. Вычислить
производную третьего порядка функции
у =
.
Решение. 1)
у'
=
;
2)
у''
= (у')'
=
=
;
3) у'''
= (у'')'
= (
)'
=
=
.
Определение 6.5. Пусть функция у = f (x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядка функции у = f(x). Дифференциалы высших порядков (второго, третьего и т. д.) определяются следующей формулой
dny = f (n)(x)(dx)n, n = 2, 3,… .
Пример 6.7. Вычислить дифференциал d2y, где у = х4 − 3х2 + 4.
Решение. 1) dy = (х4 − 3х2 + 4)'dx = (4х3 – 6х)dx;
2) d2y = (4x3 – 6x)'(dx) = (12x2 – 6)(dx)2.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение производной.
2. Каков геометрический смысл производной?
3. Какая функция называется дифференцированной в точке?
4. Что называют дифференциалом функции?
5. Сформулируйте основные правила дифференцирования функции.
6. По какому правилу находится дифференцирование сложной функции?
7. Как находятся производные и дифференциал высших порядков?