5.4. Способы представления непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина Х принимает значения из некоторого промежутка . Значения и , в зависимости от конкретных условий, могут быть различными, а сам промежуток может быть конечным (например, [–1,2]), полубесконечным (например, (- ,0] или [3, )) или бесконечным . Подразумевается, что . Все значения, попадающие на , невозможно перечислить, поэтому невозможно и указать, какие вероятности им соответствуют. Чтобы охарактеризовать распределение вероятностей в этом случае, поступают так. На выделяют участок от до и находят отношение вероятности попадания на этот участок к длине участка:

.

представляет собой среднюю вероятность, приходящуюся на единицу измерения Х, вычисленную на участке . По аналогии с плотностью (массой, приходящейся на единицу объема) она может быть названа средней плотностью вероятности. Средняя плотность вероятности зависит и от положения точки , и от длины участка . Чтобы исключить влияние , его стараются взять как можно меньшим, т. е. находят предел:

.

Функция называется плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности). Она должна удовлетворять следующему требованию:

.

Как и для ДСВ, вводится понятие функции распределения: . Между функциями и имеется тесная связь:

;

.

Т. е. плотность вероятности является производной от функции распределения и, наоборот, функция распределения является первообразной для плотности вероятности, ее можно найти по формуле:

.

В связи с этим, называют иногда дифференциальной функцией распределения, а — интегральной. Свойства функции для НСВ аналогичны свойствам функции распределения для ДСВ.

С помощью функции распределения можно найти вероятность попадания значений случайной величины на промежуток :

.

5.5. Числовые характеристики нсв

Числовые характеристики для НСВ те же самые, что и для ДСВ, и аналогичны им по смыслу, однако вычисляются несколько иначе.

1) Математическим ожиданием НСВ называется значение, определяемое следующей формулой:

.

2) Модой НСВ называется значение Х, соответствующее максимуму функции . Если максимум один, то распределение называется унимодальным, если максимумов несколько, то полимодальным. Например, при двух максимумах распределение называется бимодальным.

3) Медианой НСВ называется ее значение, для которого выполняется условие: .

4) Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от М(Х), вычисляемое по формуле

.

Как и в случае с ДСВ, дисперсия может быть вычислена по более простой формуле:

.

5) Среднеквадратическое отклонение НСВ равно корню квадратному из дисперсии:

.

6) Вариацией или коэффициентом вариации НСВ называется отношение:

.

Пример. Точку бросают наугад внутрь круга радиуса . Охарактеризовать случайную величину – расстояние от точки до центра круга.

Очевидно, что может принимать любые значения в промежутке . Чтобы найти вид функции , составим соответствующий предел. Изменению значений от до соответствует попадание точки внутрь кольца, ограниченного окружностями с радиусами и . Вероятность попадания на этот участок согласно геометрическому определению вероятности равна отношению площади этого участка к площади всего круга:

.

Тогда .

. .

Моды у данной случайной величины нет, т.к. у функции нет максимума. Из условия находим медиану . Вычислим дисперсию:

.

Среднеквадратическое отклонение равно , вариация .

30