5.3. Числовые характеристики дсв

Числовые характеристики служат для краткого описания ДСВ и делятся на две группы: характеристики положения и характеристики разброса. К первым относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Дадим их определения:

1) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется значение, определяемое следующей формулой:

.

Математическое ожидание представляет собой средневзвешенное всех значений Х (“весами” служат вероятности отдельных значений) и характеризует порядок величины (десятые, сотые, целые числа, десятки, сотни и т. д.).

.

Для разобранного в данном разделе примера

.

2) Модой случайной величины называется ее значение, имеющее наибольшую вероятность. В нашем примере = 2.

3) Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется следующее условие: .

Медиана — такое значение случайной величины, для которого функция распределения равна 0. 5.

Рассмотрим теперь характеристики разброса. Необходимость их введения можно пояснить на примере.

Пусть заданы две случайные величины и .

	8	9	10	11	12
	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
	– 10	0	10	20	30
	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

По данным из таблицы найдем математическое ожидание

,

.

Видно, что при одной и той же величине математического ожидания, отдельные значения отличаются от гораздо меньше, чем отдельные значения от . Числовые характеристики, определения которых сейчас будут даны, учитывают эту разницу в поведении случайных величин.

1) Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от своего математического ожидания. Для ДСВ дисперсия вычисляется по формуле:

.

Преобразование этой формулы позволяет привести ее к более удобному виду:

Используя аналогию с можно обозначить .

Тогда .

Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.

Вычислим значение дисперсии для случайной величины Х, рассмотренной в примере. По первой формуле:

.

По второй формуле:

.

Следует помнить, что, по своему определению, дисперсия — величина неотрицательная, т. е. .

2) Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

.

Характеристика вводится, чтобы иметь возможность указать разброс в той же размерности, что и сама случайная величина (т. к. дисперсия имеет размерность квадрата Х).

Для нашего примера  0. 81.

Среднеквадратическое отклонение имеет смысл абсолютной погрешности при замене Х ее математическим ожиданием.

3) Вариацией случайной величины х называется отношение .

Вариация имеет смысл относительной погрешности.