4.7. Варіанти завдань контрольної роботи для студентів заочної форми навчання

Контрольна робота складається з 5 видів завдань: завдання 1, 2, 3, 4, 5.

Варіант задачі для кожного завдання вибирається студентом за номером в списку навчальній групі.

Студент виконує завдання контрольної роботи самостійно і в повному обсязі. При необхідності звертається за допомогою до літератури [1], [2], [8], [9], [10]. Виконана контрольна робота здається на кафедру “Інформаційних систем” за 2 тижня до початку сесії і має вигляд розрахунково-пояснювальної записки, що містить детальний опис рішення кожного завдання, яке необхідно зробити вручну, без допомоги математичного забезпечення комп’ютера, та висновки за результатами рішення кожної задачі.

5. Вказівки до виконання лабораторних та контрольної робіт

5.1. Алгоритм симплекс-методу

Оптимальний план задачі лінійного програмування симплекс-методом знаходять поетапно:

1. Знаходять опорний план задачі.

2. Складають симплекс-таблицю і перевіряють цей план на оптимальність. Якщо в рядку таблиці всі не від’ємні числа, то план є оптимальним і розв’язок задачі закінчують. Якщо ж серед чисел є від’ємні числа, то план не оптимальний і треба перейти до нового опорного плану.

3. Знаходять напрямний (розв’язуваний) стовпець і рядок. Направляючий стовпчик визначається за найбільшою абсолютною величиною від’ємного числа . Напрямний рядок – мінімум відношень компонент стовпця вектора до додатних компонент напрямного стовпця, а саме

4. Використовуючи жорданові виключення, перераховують інші елементи таблиці і визначають новий опорний план.

5. Перевіряють цей план на оптимальність. Якщо план не оптимальний і необхідно перейти до нового опорного плану, то повертаються до пункту 3. Якщо знайдений план є оптимальним або встановлено, що задача не має розв’язку, процес розв’язування задачі припиняють.

5.2. Приклад

Цільова функція задачі:

Обмеження задачі:

.

Розв’язання задачі здійснюється поетапно.

Етап 1. Знайдемо початковий опорний план. Для цього за допомогою додаткових змінних зведемо задачу до канонічної форми. Оскільки цільова функція прямує до максимуму, то її залишаємо без змін. Обмеження: нерівності зведемо до рівностей введенням додаткових змінних . Задача в канонічній формі має такий вигляд:

Запишемо систему обмежень у векторній формі:

де ─ - вимірний вектор-стовпець коефіцієнтів при ─ - вимірний вектор-стовпець вільних членів системи

;

Вектори ─ одиничні і лінійно-незалежні між собою вектори. Вони утворюють базис. Змінні називаються базисними, змінні ─ вільними і прирівнюються до нуля. У результаті отримуємо

або

Оскільки праворуч стоять всі невід’ємні коефіцієнти, а вектори ─ лінійно-незалежні одиничні, то отримаємо початковий опорний план:

Етап 2. Складаємо симплекс-таблицю (табл.1) і перевіряємо цей план на оптимальність.

Таблиця 1

і	Базис	Сбаз
1		0	250	0,22	0,37	1	0	0	0	0
2		0	150	0,15	0,08	0	1	0	0	0
3		0	600	0,63	0,55	0	0	1	0	0
4		0	300	─1,0	1,00	0	0	0	1	0
5		0	400	0	1,00	0	0	0	0	1

Перший стовпець містить номер рядка (обмеження), другий – базисні вектори. Оскільки ─ базисні змінні, то відповідні їм вектори ─ базисні. Третій стовпець С_баз ─ коефіцієнти цільової функції при базисних векторах . Стовпець ─ коефіцієнти опорного рішення. Оскільки дорівнюють правим частинам обмежень, то ці значення записуємо у стовпець . В перший рядок табл.1 записуємо значення цільової функції .

У стовпцях записуємо відповідні коефіцієнти в обмеженнях задачі при невідомих .

У рядку підраховуємо значення цільової функції на даному опорному плані. Значення дорівнює скалярному добутку вектора на вектор :

Оцінки в рядку обчислюються за формулою

тобто від скалярного добутку вектора на вектор віднімаємо значення коефіцієнта цільової функції . Так,

Зазначимо, що в рядку базисним змінним завжди відповідають оцінки . Тому далі на відповідних позиціях можна ставити нулі.

Оскільки серед оцінок є від’ємні числа, то опорний план не є оптимальним і необхідно перейти до наступного опорного плану.

Етап 3. Для збільшення значення цільової функції (задача, яку розв’язуємо на максимум) серед оцінок треба вибрати найменшу – це . Стовпець тепер називаємо розв’язуваним (напрямним) і вводимо в базис.

Далі визначаємо розв’язуваний рядок. Для цього обчислюємо відношення компонент вектора до додатних компонент вектора, який вводимо в базис ( ), і серед них обираємо найменше значення

Рядок, який відповідає мінімальному відношенню, називається розв’язувальним. Вектор виводимо з базису.

Елемент, що стоїть на перетині розв’язуваного рядка і розв’язуваного стовпця, називається розв’язуваним елементом.

Далі, використовуючи жорданові виключення, перераховуємо всі елементи таблиці. Знаходимо новий опорний план у новому базисі (табл. 2).

Таблиця 2

і	Базис
1		0	139	0,59	0	1	0	0	─0,37	0
2		0	126	0,23	0	0	1	0	─0,08	0
3		0	435	1,18	0	0	0	1	─0,55	0
4		29	300	─1,0	1	0	0	0	1	0
5		0	100	0	0	0	0	0	─1	1
			8700	─52	0	0	0	0	29	0

У табл. 2 в стовпці “Базис” замість записуємо вектор .

У стовпці проти записуємо значення коефіцієнта цільової функції с₂ = 29.

У стовпцях , які відповідають базисним векторам, записуємо одиничні вектори. Підраховуємо елементи нової симплекс-таблиці.

Всі елементи розв’язуваного рядка (крім ) ділимо на розв’язуваний елемент. Інші елементи табл.2 перераховуємо за формулою жорданових виключень за правилом прямокутника.

Стовпець :

Стовпець :

Стовпець :

Далі обчислюємо коефіцієнти рядка.

В табл.2 в рядку <0, і тому новий опорний план також не є оптимальним, його можна поліпшити за рахунок введення в базис вектора . Тепер розв’язуваний стовпець - .

Визначимо розв’язуваний рядок. Для цього обчислимо

Отже, 1 є розв’язуваним елементом, п’ятий рядок ─ розв’язуваний, вектор слід вивести з базису.

Аналогічно здійснюємо розрахунки симплекс-таблиць. Результати другої, третьої і четвертої ітерацій наведено табл. 3.

Таблиця 3

	Базис
1		0	80	0	0	1	0	0		─0,5
2		0	103	0	0	0	1	0	0,15	─0,2
3		0	317	0	0	0	0	1	0,63	─1,1
4		29	400	0	1	0	0	0	0	1
5		23	100	1	0	0	0	0	─ 1	1
			13900	0	0	0	0	0	─23	52
1		0	363,64	0	0	4,54	0	0	1	─2,6
2		0	48,45	0	0	─0,68	1	0	0	0,17
3		0	87,91	0	0	─2,86	0	1	0
4		29	400	0	1	0	0	0	0	1
5		23	463,64	1	0	4,54	0	0	0	─1,6
			22263,6	0	0	104,54	0	0	0	─9,68
1		0	826,40	0	0	33,37	0	5,26	1	0
2		0	18,77	0	0	0,17	1	─0,3	0	0
3		0	172,54	0	0	─5,62	0	1,96	0	1
4		29	227,46	0	1	5,62	0	─1,9	0	0
5		23	753,85	1	0	35,94	0	3,30	0	0
			23934,3	0	0	50,11	0	19,0	0	0

Оскільки всі оцінки , то отриманий опорний план

є оптимальним. Максимальне значення цільової функції