- •До вивчення дисципліни та виконання лабораторних, практичних і контрольних робіт
- •1. Загальні відомості
- •2. Зміст дисципліни
- •3. Запитання для підготовки до іспиту
- •4. Варіанти лабораторних робіт та порядок їх виконання
- •Лабораторна робота 1 Побутова математичної моделі задачі оптимізації
- •Варіанти задач
- •Цех підприємства виробляє 2 виду продукції (Продукт 1) та (Продукт 2). Необхідно розрахувати оптимальні щотижневі об’єми виробництва продукції з точки зору максимального прибутку.
- •Лабораторна робота 2 Класичні методи дослідження функцій на оптимум.
- •Варіанти завдань
- •Рішення задачі безумовної оптимізації
- •Варіанти завдань
- •5. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •6. Вказівки до виконання лабораторних та контрольної робіт
- •6.1. Класичний метод визначення екстремуму
- •6.2. Задача планування випуску продукції
- •Розв’язок:
- •Б) встановити перемикач Равной максимальному значению;
- •6.3. Метод повного перебору (метод сіток)
- •6.4. Алгоритм дихотомічного пошуку
- •7. Рекомендована література
- •7.1. Основна
- •6.2. Додаткова
6. Вказівки до виконання лабораторних та контрольної робіт
6.1. Класичний метод визначення екстремуму
Приклад 6.1.
Розв’язок:
1. Знайдемо стаціонарні точки:
Розв’язком системи рівнянь є точка .
2. Матриця других похідних має вигляд:
3. Перевіримо кутові мінори:
4. По критерію Сильвестра матриця додатньо визначена, тоді - точка строгого локального мінімуму. Вона буде також точкою строгого глобального мінімуму, оскільки функція F(x,y) нескінченно зростаюча на .
5. F =-52.
Приклад 6.2.
Розв’язок:
Знайдемо стаціонарні точки:
Розв`яжемо систему:
Отже, точками, які задовольняють системі рівнянь, будуть
Матриця других похідних має вигляд:
Дослідимо першу групу точок:
Перевіримо кутові мінори: М1=1>0, M2=1∙2-0∙0>0. По критерію Сильвестра отримуємо, що матриця других похідних в точці , додатньо визначена. Отже, в цій точці маємо строгий локальний мінімум. Знайдемо значення функції F(x,y) в точці . Ця точка буде точкою глобального мінімуму задачі, оскільки
Дослідимо останню функцію однієї змінної на екстремум:
, отже, оскільки , то - точка її екстремуму. Значення функції . Це точка мінімуму , так як і .
Дослідимо другу групу точок:
Перевіримо кутові мінори М1= e-2>0, М2= -e-2 (1+e-2)<0. Отже, матриця других похідних в цій точці знаконевизначена. Тому точка не є точкою екстремуму.
6.2. Задача планування випуску продукції
Для виготовлення виробів X, Y, Z (рис. 6.3) використовують 3 види сировини: I, II, III. У таблиці задано: норми витрат сировини на 1 виріб продукції кожного виду, ціна одного виробу, а також кількість сировини кожного виду, які можна використати. Скільки виробів кожного виду потрібно виготовити, щоб прибуток був максимальний?
Рис. 6.3
Це задача лінійного програмування і розв’язується за допомогою команди меню Сервис-Поиск решения (рис. 6.4). Пошук рішення – це потужний засіб, що дозволяє в загальному випадку розв’язувати задачі як лінійного так і нелінійного програмування.
Математична модель задачі. Треба позначити через X, Y, Z шукані кількості виробів трьох видів. Знайти X, Y, Z, для яких досягається максимум функції прибутку F=9X+10Y+16Z за таких обмежень:
18X+15y+12Z 360
6X+4Y+8Z 192
5X+3Y+3Z 180
X 0, Y 0, Z 0.
Розв’язок:
Треба клітинам A1, B1, C1, D1 присвоїти імена X, Y, Z, F за допомогою команди меню Вставка- Имя-Присвоить.
2. У клітину D1 ввести формулу =9*X+10*Y+16*Z.
Рис. 6.4
Викликати команду меню Сервис-Поиск решения.
У діалоговому вікні Поиск решений:
а) в полі Установить целевую ячейку задати адресу цільової клітини $D$1.
Б) встановити перемикач Равной максимальному значению;
в) в полі Изменяя ячейки вказати імена змінних X;Y;Z;
г) за допомогою кнопки Добавить у діалоговому вікні Параметры поиска решения ввести обмеження у вигляді нерівностей:
X<=(360-15*y-12*z)/18, Y<=(192-6*x-8*z)/4, Z<=(180-5*x-3*y)/5,
x>=0 , y>=0, z>=0
Після введення кожної нерівності – клацнути на кнопці Добавить (рис.
6.5, 6.6) , а потім – на кнопці ОК.
Рис. 6.5
Рис. 6.6.
д) натиснути на кнопці Параметр і у діалоговому вікні Параметры поиска решения вказати, що модель є Линейной, після чого клацнути на кнопці ОК.
є) у діалоговому вікні Поиск решений натиснути на кнопці Выполнить, після чого у клітинах A1:D1 висвічуються результати:
X=0; Y=8; Z=20; F=400
5. У діалоговому вікні Результаты поиска решения треба вибрати параметр Сохранить найденное решение.