Моделирование случайных сигналов

Схема компьютерного моделирования рассматриваемых процессов представлена на рис.2.

Стандартный генератор случайных чисел выдает квазинезависимую последовательность чисел, равномерно распределенную в диапазоне от [0, 1]. Нетрудно установить, что среднее значение в такой последовательности составляет 0.5, а средний квадрат отклонения от среднего равен 1/12. Вычитая 0.5 из каждого числа и умножая результат на , можно получить нормированный сигнал с математическим ожиданием, равным нулю и среднеквадратичным отклонением, равным 1. Форма распределения такого сигнала остается равномерной, а отсчеты по-прежнему квазинезависимы.

Для формирования из полученной последовательности нового сигнала в виде “белого шума” с гауссовским распределением мгновенных значений применим в качестве теоретической базы центральную предельную теорему. В данном случае для упрощения последующей нормировки сигнала и сохранения независимости отдельных чисел использовано расчетное соотношение

Наконец, для получения “окрашенного” сигнала с заданными динамическими свойствами пропустим “белый шум” через динамическое звено, моделирующее работу апериодического звена 1-го порядка с постоянной времени Т.

Рекуррентное соотношение для расчета выходной реализации сигнала имеет вид (см. выше):

При моделировании принимаем y[0]=0 и отбрасываем участок переходного процесса на интервале [05T]. В этом случае сигнал y[n], сформированный из “белого шума” в соответствии с последним соотношением, выходит на стационарный участок и обладает экспоненциальной ковариационной функцией

Для того, чтобы дисперсия сигнала стала равна 1, используем очевидное соотношение для выбора коэффициента усиления

Дальнейшее моделирование сводится к получению реализации желаемого сигнала и накоплению ее отсчетов в массиве нужной длины.

Трансформация сигналов и их характеристик

Наиболее полно преобразование сигналов, проходящих через линейный динамический объект, дается уравнением свертки:

Где k - статический коэффициент усиления,

x(t) - входной сигнал,

y(t) - выходной сигнал,

h(t) - весовая функция объекта.

Если входной сигнал имеет ковариационную функцию K_xx(), то ковариационная функция сигнала на выходе объекта определяется соотношением:

(2)

где R_hh() - так называемая корреляционная функция весовой функции объекта, вычисляемая как

(3)

Отметим, что рассчитав всю функцию К_yy(), можно автоматически определить дисперсию сигнала на выходе линейного динамического объекта как

Учитывая, что в выражение для R_hh входят весовые функции для детерминированных, заранее известных объектов, можно, опираясь на результаты раздела “Модели объекта”, заранее рассчитать вид функции R_hh() для этих объектов.

Для безинерционного объекта: R_hh()=(0)

Для звена с чистым запаздыванием: R_hh()=(0)

Для апериодического звена 1-го порядка:

Для “черного ящика”, где вид весовой функции h(t) заранее не определен, приходится каждый раз вычислять интеграл в соответствии с выражением (3). В частности, для распространенной задачи оценки среднего значения сигнала по реализации конечной длины можно воспользоваться следующим подходом. Обычно используют следующее соотношение:

(4)

Однако, понятно, что пока t<T, невозможно рассчитать x, если отсчет интервала начался в момент времени t = 0; сам же результат появляется в момент времени t = T.

В более общем случае интервал усреднения может скользить вдоль реализации, что совершенно адекватно описывается уравнением свертки:

(5)

где

1/Т при 0  Т

h( )=

0 вне этого интервала

Можно проверить, что при t = T выражение (5) переходит в (4).

Нетрудно вычислить корреляционную функцию весовой функции для скользящего среднего. В соответствии с (3)

при 0 ⁼

Проведя аналогичное рассмотрение при  < 0 и сопоставляя результаты с записанным выше, окончательно получаем:

 1 _(1-_{) при }

R_hh()=^{T Т}

0 вне этого интервала

Полученное соотношение позволяет вместе с (2) рассчитать дисперсию оценки среднего, вычисляемой на конечном интервале

При вычислении на ЭВМ используется дискретный аналог этого выражения:

(6)

где T_s - период отсчетов; при моделировании T_s = 1.

Нетрудно видеть, что первое слагаемое в (6) соответствует обычно используемой статистической оценки для точности среднего; однако, если использовались коррелированные отсчеты (т.е. если отсчеты брались слишком часто из “медленного” процесса), то второе слагаемое в (6) характеризует абсолютную погрешность для стандартного подхода, основанного на теории случайных чисел, и как нетрудно показать, относительная погрешность в предельном случае может достигать N-кратной величины.

Имея реализацию длиной в N отсчетов, мы можем рассчитывать среднее и по меньшему их числу, например, начиная с 5, 6, ..., N. Это дает возможность наблюдать процесс установления текущего среднего для данной частной реализации. При необходимости экспериментатор может многократно повторять расчеты, накладывая графики на общее поле с заранее обозначенными границами . Поскольку процесс усреднения, в силу центральной предельной теоремы, ведет к нормализации функции распределения для результата, указанные границы соответствуют доверительной вероятности 95%.