6. Проверить альтернативные гипотезы, используя предложенные варианты законов распределения.

Были предложены следующие варианты распределения СВ X:

а) СВ X описывается законом нормального распределения;

б) СВ X описывается законом равномерной плотности.

а) Выдвигаем гипотезу H₁ о том, что СВ X подчиняется нормальному закону распределения. В общем виде функция плотности распределения нормального закона распределения выглядит так:

, (13)

где m_x – математическое ожидание, а σ_x – среднее квадратическое отклонение. Функция распределения нормального закона выражается через интеграл вероятностей:

, где . (14)

Оценка параметров: =1,878; =1,267. С учетом значений этих параметров функция плотности распределения примет вид:

, (14)

а функция распределения, выраженная через интеграл вероятностей:

= . (15)

Расчетная формула для вычисления вероятности p_i попадания в интервал

∆_i =[x_i, x_i+1] для нормального закона распределения имеет вид:

p_i=P(x_i<X<x_i+1)= . (16)

Для вычисления интеграла вероятностей (14) существуют специальные таблицы. По данным таблицы мы и будем находить численное значение вероятностей p_i попадания в интервал ∆_i . Рассчитаем эти вероятности:

[x₁; x₂]=[0,312; 0,9875]:

p₁= = ≈0,242-0,1075≈0,1345;

[x₂; x₃]=[ 0,9875; 1,665]:

p₂= = ≈0,4325-0,242≈0,1905;

[x₃; x₄]=[ 1,665; 2,3425]:

p₃= = ≈0,6443-0,4325≈0,2118

[x₄; x₅]=[ 2,3425; 3,02]:

p₄= = ≈0,8159-0,6443≈0,1716

[x₅; x₆]=[ 3,02; 3,6975]:

p₅= = ≈0,9251-0,8159≈0,1092

[x₆; x₇]=[ 3,6975; 4,375]:

p₆= = ≈0,9756-0,9251≈0,0505

[x₇; x₈]=[ 4,375; 5,0525]:

p₇= = ≈0,9938-0,9756≈0,0182

[x₈; x₉]=[ 5,0525; 5,73]:

p₈= = ≈0,9988-0,9938≈0,005

На основании полученных данных построим таблицу:

№	Интервал	Вероятность
1	[0,312; 0,9875]	0,1345
2	[ 0,9875; 1,665]	0,1905
3	[ 1,665; 2,3425]	0,2118
4	[ 2,3425; 3,02]	0,1716
5	[ 3,02; 3,6975]	0,1092
6	[ 3,6975; 4,375]	0,0505
7	[ 4,375; 5,0525]	0,0182
8	[ 5,0525; 5,73]	0,005

Вычислим статистику критерия Пирсона для нормального закона распределения по формуле (11):

g_n=30·[(0,443-0,1345)²/0,1345+(0,296-0,1905)²/0,1905+(0,296-0,2118)²/0,2118+(0.246-0,1716)²/0,1716+(0-0,1092)²/0,1092+(0,148-0,0505)²/0,0505+(0-0,0182)²/0,0182+(0,049-0,005)²/0,005]=46,038.

Таким образом, g_n=46,038. Т.к. =(0; 14,07), то гипотеза H₁ о том, что СВ X имеет нормальное распределение, отвергается.

б) Выдвигаем гипотезу H₂ о том, что СВ X подчиняется закону равномерной плотности. В общем виде функция плотности распределения закона равномерной плот-ности выглядит так:

, (17)

а функция распределения:

. (18)

Оценка параметров: =x_min=0,312; =x_max=5,726. С учетом значений этих параметров функция плотности распределения примет вид:

, (19)

а функция распределения

. (20)

Вероятность p_i попадания в интервал ∆_i =[x_i, x_i+1] для закона равномерной плотности имеет вид:

p_i=P(x_i<X<x_i+1)= . (21)

Таким образом, СВ X, подчиняющаяся закону равномерной плотности, имеет равную вероятность p_i попадания в любой из интервалов ∆_i . Построим таблицу вероятностей попадания в интервал:

№	Интервал	Вероятность
1	[0,312; 0,9875]	0,125
2	[ 0,9875; 1,665]	0,125
3	[ 1,665; 2,3425]	0,125
4	[ 2,3425; 3,02]	0,125
5	[ 3,02; 3,6975]	0,125
6	[ 3,6975; 4,375]	0,125
7	[ 4,375; 5,0525]	0,125
8	[ 5,0525; 5,726]	0,125

Вычислим статистику критерия Пирсона для закона равномерной плотности по формуле (11):

g_n=30·[(0,443-0,125)²/0,125+(0,296-0,125)²/0,125+(0,296-0,125)²/0,125+(0.246-0,125)²/0,125+(0-0,125)²/0,125+(0,148-0,125)²/0,125+(0-0,125)²/0,125+(0,049-0,125)²/0,125]=50,832.

Таким образом, g_n=50,832. Т.к. =(0; 14,07), то гипотеза H₂ о том, что СВ X подчиняется закону равномерной плотности, отвергается.

ВЫВОД

Была проделана работа по выявлению принадлежности выборки к одному из трех законов распределения: экспоненциальному, нормальному и закону равномерной плотности.

Проверка была проведена по критерию хи-квадрат Пирсона. Она показала, что закон распределения выборки имеет наименьшее расхождение с экспоненциальным законом. Но на данном уровне значимости α=0,05 гипотеза H₀ о том, что выборка имеет экспоненциальное распределение, должна быть отвергнута.

Это значит, что на уровне значимости α=0,05 гипотезу об экспоненциальном зако-не распределения принять нельзя. В этом случае для решения задачи нужно повысить уро-вень значимости при проверке по критерию хи-квадрат Пирсона.