Средние величины

Средними величинами в статистики называются величины дающие сводную обобщающую характеристику совокупности однотипных общественных явлений по какому – либо одному варьирующему признаку.

Варьирующий признак – изменяющий признак

Виды средних величин.

1. Среднее арифметическое

2. среднее хронологическое

3. Среднее гармоническое

4. Среднее геометрическое

Наиболее распространенным видом является среднее арифметическое

Она исчисляется в случаях, когда есть данные об отдельных значениях варьирующего признака и чисел единиц совокупности по отношению, которое определяет среднее значение этого признака.

Отдельные значения варьирующего признака называются вариантами

Число показывающее как часто встречается данный уровень признака называется частотами или весами

варианты	х	Количество выработанных деталей	20дет	23	25	27	29	30
частоты	n	Количество рабочих с данной выработкой	5чел	7	4	8	4	7

Среднее арифметическое бывает простой и взвешенной

Среднее арифметическое простая применяется в случаях когда есть значение каждого признака не повторяется

Например в результате опроса рабочих о з\п полученный результат

1500р 1640р 1820р 1960р

Х=

Средняя з\п = 1500+1640+1820+1960\ 4=1730р

Таким образом чтобы определить среднее арифметическую простую надо суму индивидуальных значений величины изучаемого признака разделить на число единиц обладающих этим признаком.

Если в изучаемой совокупности вариант повторяется. То применяется среднее арифметическое взвешенная

Например у 20 токарей средняя выработка

Выработка одного токаря(штук)	Число токарей	Общее количество токарей деталей всеми (шт)
45 46 47 48 49 50	1 3 6 5 3 2	45 138 282 240 147 100
Итого	20	952

Х=952\20=47.6 штук

Х=

В практике работников плановых служб часто приходится определять прогрессивные показатели.

Прогрессивные показатели- это средние величины достигнутые работником предприятия

Уже на их основе устанавливается плановый коэффициент использования оборудования

В нашем примере у 20 рабочих средняя выработка составила 47.6 но у 10 рабочих выработка ниже среднего а у10 рабочих выработка выше средней тогда рабочие имеющие выработку выше общей средней является выработка передовых рабочих.

Х=(48*5)+(49*3)+(50*2)\10=48.7(шт)

Исчисление средней с интервальными вариантами

На практике применяется исчислять средние , когда варианты признака представлены в виде интервала.

В данном случае для расчета в среднем необходимо освободиться от интервала т.е по каждой группе исчислить среднее значение интервала.

Среднее значение интервала находят как полусуумму его верхней и нижней границы.

После определения его средней границы их умножают на частоты и сумму произведений делят на сумму частот . Определяется центр интервала основан на условном предложении равномерном распредели изучаемого признака.

Группа рабочих по размеру з\п руб.	Число рабочих	Среднее значение интервала
1000-1200 1200-1400 1400-1600 1600-1800 1800-2000	4 6 12 5 3	1100 1300 1500 1700 1900
Итого	30

Х=

Х=(1100*4)+(1300*6)+(1500*12)+(1700*5)+(1900*3)\4+6+12+5+3=1480(руб.чел)

Исчисление середины интервала иногда осложняется если интервал известен с открытыми границами т.е у 1 группы интервал распределения отсутствует начальное , а у последней группы конечное в этих случаях берут значение последнего интервала(для первого)или предыдущего (для последнего).

Рабочие по % выполнению	Число рабочих	Среднее значение интервала
До100% 100-105 105-110 110и выше	2 20 10 8	97.5 102.5 107.5 112.5
Итог

Х=

Х=(2*97.5)+(102.5*20)+(107.5*10)+(112.5*8)\2+20+10+8=105.5%

Средняя хронологическая иногда необходимо среднюю исчислять по данным моментного ряда т.е ,когда числовые значения известны на определенный период времени .Для её определения берутся в половинном размере первые и последние члены моментного ряда, а промежуточные полностью и вся сумма делится на число периодов за минусом единицы

Х=

Например

Январь 440

Февраль 400

Март 420

Апрель 500

Май 460

Июнь 480

Июль 430

Х=1\2 440+400+500+460+480+1\2 430\6=382.5(тыс.руб.)

Следует помнить, что формула применяется в случаях, когда уровни моментного ряда отделяются равными периодами.

Среднее будет чем точнее, чем короче периода отделяющее уровни моментного ряда одного от другого.

Бывают случаи, когда уровни моментного ряда отделены неравными периодами

периоды	Число рабочих
С 1 по 20 января	420
С 20 по 31 января	460
С 1 февраля по 31 марта	500

Х=

Х=(420*20)=(460*11)+(500*59)/20+11+59=477(чел)

Средняя гармоническая - это величина обратная средней арифметической из обработанных значений признака.

Применяется, когда известны сведения о значении признака и общем объёме, а число единиц неизвестно.

Не веса приходиться умножать, а произведение делить на варианты.

№	Средняя з\п х рабочих, руб	Общий фонд з\п (х*т)	Количество рабочих бригад (т)
1	1800	←:18000	10
2	1950	←:13650	7
3	2000	←:10000	5
итог	5750	41650	22

Х= 41650\5750=22

Х=

Средняя геометрическая исчисляется когда среднегодовые темпы рассчитываются путем извлечения корня годовых темпов роста.

Выпуск продукции	2000 5	2001 5.2	2002 5.5
Выпуск по сравнению с предъидущим		1.04	1.058

Обозначения х1 ,х2,х,3

Коэффицыэнты R1 R2 R3

R=

R=√1.04\1.058=1.05 средний рост за период с 2000г по 2002 год составляет 105%