2.5. Интервал

Масштабы длин и интервалы времени не инвариантны, они относительны. Однако в специальной теории относительности есть величины, не меняющиеся при переходе из одной ИСО в другую. Такие величины называются инвариантами специальной теории относительности. Инвариантами преобразований Галилея являются длина тела и промежуток времени между событиями. Именно поэтому понятия длины и промежутка времени играют такую большую роль в классической физике. После стольких разногласий по поводу наших измерений в специальной теории относительности было бы приятно обнаружить что-то такое, в чем все равномерно движущиеся наблюдатели были бы согласны. Ясно, что величина, обладающая столь уникальным свойством, как нельзя лучше подходит для описания происходящего в четырехмерном мире специальной теории относительности.

В четырехмерном пространстве каждому событию можно сопоставить мировую точку, имеющую координаты ct, x, y, z. Пусть два события имеют соответственно координаты ct₁, x₁, y₁, z₁; ct₂, x₂, y₂, z₂. Обозначим

, , , .

Квадрат “расстояния” между двумя мировыми точками определяется формулой

. (2.12)

Квадратный корень из этой величины называется интервалом

, (2.13)

где

.

В специальной теории относительности особую роль играют величины, являющиеся инвариантными по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной ИСО к другой. Одну из таких величин мы знаем – это скорость света в пустоте. Покажем, что определяемый соотношением (2.12) интервал также является инвариантом. Именно это обстоятельство послужило основанием для того, чтобы считать его аналогом расстояния l между двумя точками в обычном трехмерном пространстве.

Пусть в системе S квадрат интервала определяется формулой (2.12), квадрат расстояния между теми же событиями в системе S' равен

. (2.14)

Из преобразования Лоренца следует

, , , .

Подставив эти значения в соотношение (2.14), получим

,

то есть

.

Таким образом, интервал является инвариантом по отношению к переходу от одной ИСО к другой.

Интервал между двумя событиями, происшедшими с некоторой частицей, находится в простом соотношении с промежутком собственного времени между этими событиями. Промежуток собственного времени связан с промежутком времени t, отсчитанным по часам системы, относительно которой частица движется со скоростью V, соотношением

. (2.15)

Преобразуем (2.15) следующим образом:

.

Отсюда видно, что

. (2.16)

Так как и c и S являются инвариантными, то собственное время также является инвариантным.

В соответствии с (2.13) интервал может быть вещественным (если ct>l) и мнимым (если ct<l) и в частном случае равным нулю. Последний случай имеет место для событий, заключающихся в испускании светового сигнала из точки x₁, y₁, z₁ в момент t₁ и приходе этого сигнала в точку x₂, y₂, z₂ времени t₂. В этом случае l=ct. В силу инвариантности, если интервал веществен в одной системе отсчета, то он будет вещественным и в другой, то же самое можно сказать о мнимом интервале.

В случае вещественного интервала

.

Из этого соотношения следует, что можно найти такую систему S', в которой l'=0, то есть оба события оказываются пространственно совмещенными. Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы t'=0. Таким образом, события, разделенные вещественным интервалом, ни в одной системе отсчета не могут стать одновременными. Вещественные интервалы называются времениподобными. Заметим, что события, происходящие с одной частицей, могут быть разделены только времениподобным интервалом, так как скорость такой частицы меньше c.

В случае мнимого интервала

.

Отсюда вытекает, что можно найти такую систему S', в которой t'=0 то есть оба события происходят в один и тот же момент времени. Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы l'=0. Таким образом, события, разделенные мнимым интервалом, ни в одной из систем отсчета не могут оказаться пространственно совмещенными. Мнимые интервалы называются пространственноподобными. Расстояние l между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает ct. Поэтому рассматриваемые события никак не могут быть причинно связанными друг с другом (так как не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей чем c). Причинно связанные события могут быть разделены лишь времениподобным или нулевым интервалом.

Таким образом, специальная теория относительности вводит новый абсолют – четырехмерный интервал между двумя событиями в пространстве Минковского. Для Эйнштейна реальный объект – это четырехмерный объект, который никак не меняется. Его трехмерная проекция на пространство и его одномерная проекция на время могут изменяться, но четырехмерный объект в пространстве-времени остается неизменным.