Приклади розв’язування типових задач

Задача 5.1. Розподіл дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х	2	4	8	10
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Математичне сподівання випадкової величини Х обчислимо за формулою:

М(Х)=х₁р₁+ х₂р₂+ х₃р₃+ х₄р₄=2·0,4+4·0,2+8·0,1+10·0,3=5,4.

Запишемо розподіл величини Х²:

Х2	4	16	64	100
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Тоді дисперсія випадкової величини Х легко обчислюється за формулою:

=4·0,4+16·0,2+64·0,1+100·0,3–(5,4)²=

=1,6+3,2+6,4+30–29,16=12,04.

Середнє квадратичне відхилення рівне:

= 3,47.

Відповідь: МХ=5,4; DХ=12,04; σ_х3,47.

Задача 5.2. Випадкова величина Х розподілена за законом зі щільністю р(x), причому

при x < 0,

при 0 ≤ х ≤ 3,

при х > 3.

Потрібно 1)Знайти коефіцієнт а; 2) побудувати графік розподілу щільності y=р(x); 3) знайти ймовірність попадання Х в проміжок [1;2].

Розв’язання. 1) Так як усі значення даної випадкової величини містяться у відрізку [0; 3], то

, звідки

або , тобто .

2) Графіком функції р(x) на проміжку [0; 3] є частина параболи , а поза цим проміжком – сама вісь абсцис.

3) Ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок [1; 2] знайдеться з рівності:

.

Відповідь: ; Р(1<Х<2)=13/27.

Задача 5.3. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

при x < 0,

при 0 ≤ х ≤ 1,

при х > 1.

Побудувати функцію розподілу F(x).

Розв’язання. Якщо x < 0, то р(х)=0, тому F(x)= =0.

Якщо 0 ≤ х ≤ 1, то F(x)= = х.

Якщо х > 1, то F(x)= = 1.

Отже,

Відповідь: функція розподілу

Індивідуальні завдання для самостійної роботи

Варіант 1

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.1	1.3	1.5	1.7	1.9
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 2

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
Р	0.3	0.1	0.2	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 3

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.5	1.7	1.9	2.1	2.3
Р	0.3	0.2	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 4

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2
Р	0.1	0.3	0.1	0.1	0.4

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 5

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.5	1.6	1.8	1.9	2.1
Р	0.2	0.4	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 6

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.6	1.7	1.9	2.2	2.3
Р	0.1	0.4	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 7

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.8	2.1	2.3	2.4	2.6
Р	0.2	0.2	0.1	0.1	0.4

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 8

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.9	2.1	2.2	2.3	2.5
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 9

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.9	2.0	2.3	2.4	2.6
Р	0.3	0.3	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 10

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.1	2.2	2.3	2.5	2.7
Р	0.2	0.2	0.2	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 11

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.3	0.5	0.6	0.8	0.9
Р	0.3	0.2	0.2	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 12

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.4	0.5	0.7	0.8	1.1
Р	0.4	0.1	0.1	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 13

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.6	0.8	0.9	2.1	2.3
Р	0.2	0.2	0.1	0.2	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 14

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.2	2.4	2.6	2.7	3.0
Р	0.2	0.3	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 15

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.9	3.1	3.2	3.3	3.5
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 16

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.0	3.1	3.2	3.3	3.7
Р	0.3	0.1	0.3	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 17

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.2	3.3	3.5	3.7	3.9
Р	0.1	0.4	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 18

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.3	3.5	3.7	3.8	3.9
Р	0.1	0.4	0.2	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 19

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.5	3.6	3.8	3.9	4.1
Р	0.4	0.1	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 20

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.6	3.7	3.9	4.1	4.2
Р	0.3	0.2	0.1	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 21

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.8	3.9	4.1	4.2	4.4
Р	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 22

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.9	4.0	4.1	4.3	4.5
Р	0.2	0.3	0.3	0.1	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 23

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 24

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	4.2	4.3	4.5	4.6	4.7
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 25

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	4.3	4.4	4.5	4.7	4.8
Р	0.3	0.3	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 26

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	4.3	4.4	4.5	4.6	4.8
Р	0.2	0.3	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 27

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	4.4	4.5	4.6	4.7	4.9
Р	0.2	0.1	0.3	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 28

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	-1.2	-1.1	0.5	0.6	0.7
Р	0.3	0.3	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 29

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	-2.2	-2.0	-1.6	-1.3	-1.1
Р	0.2	0.1	0.3	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

Варіант 30

1. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	-3.2	-3.0	-2.5	-2.3	-1.5
Р	0.3	0.3	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес.

2. Абсолютно неперервна випадкова величина Х має щільність:

,

Знайти функцію розподілу Х, математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графіки щільності та функції розподілу випадкової величини Х.

ПИТАННЯ ДО КОЛОКВІУМІВ