Іі. Теореми додавання та множення ймовірностей. Умовні ймовірності

Означення. Сумою (або об’єднанням) подій А та В називається подія, яка полягає в тому, що відбувається принаймні одна з цих подій. Сума подій позначається символом А+В (або АВ).

Теорема (додавання ймовірностей). Ймовірність появи хоча б однієї події А або В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (2.1)

Якщо відомо, що події А і В несумісні, тобто поява однієї події виключає появу іншої, то ймовірність суми подій обчислюється за формулою:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (2.2)

Узагальнення теореми для довільного числа подій:

• для несумісних Р(А₁+А₂+...+А_п)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_п); (2.3)

• для сумісних Р(А₁+А₂+...+А_п) = Р(А_і) – Р(А_іА_j) + Р(А_іА_jА_k) – ... +(–1)^п-1Р(А₁А₂...А_п). (2.4)

Означення. Добутком (або перетином) подій А та В називається подія, яка полягає в тому, що відбуваються обидві події одночасно. Добуток подій позначається символом АВ (або АВ).

Теорема (множення ймовірностей). Ймовірність добутку двох подій обчислюється за формулою:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А), (2.5)

де Р(А) – ймовірність появи події А, Р(В/А) – умовна ймовірність появи події В, тобто ймовірність появи події В за умови, що відбулася подія А.

Означення. Дві події А та В називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з подій не залежить від появи другої:

Р(А/В)=Р(А) або Р(В/А)=Р(В). (2.6)

Ймовірність добутку двох незалежних подій обчислюється за формулою

Р(АВ)=Р(А) Р(В). (2.7)

Для п незалежних подій має місце формула:

Р(А₁А₂...А_п)=Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_п). (2.8)

Для п залежних подій ймовірність добутку:

Р(А₁А₂...А_п)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)...Р(А_п/А₁А₂...А_п-1). (2.9)

Приклади розв’язування типових задач

Задача 2.1. У грошо-речовій лотереї на кожну 1000 квитків випадає 25 грошових і 15 речових виграшів. Куплено два квитка. Яка ймовірність, що випаде: 1) на перший квиток грошовий виграш, а на другий – речовий виграш; 2) хоча б на один квиток виграш?

Розв’язання. 1) Позначимо через Р(А) ймовірність грошового виграшу на перший квиток, Р(В/А) – ймовірність речового виграшу на другий квиток. Тоді ймовірність виграти гроші на перший квиток і якусь річ на другий буде Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

За класичним означенням ймовірності

Р(А)= , Р(В/А)= . Тоді Р(АВ)= 0,000375.

2) Позначимо через С виграш на перший квиток, а через D – на другий квиток. Тоді ймовірність хоча б на одного виграшу на два квитка буде Р(С+D)=Р(С)+Р(D)-Р(СD).

За класичним означенням ймовірності Р(С)=Р(D)=40/1000, тоді Р(D/С)=39/999. За теоремою добутку ймовірностей Р(СD)=Р(С)Р(D/С)=40/1000 39/9990,00156. Отже, Р(С+D)=40/1000+40/1000–0,001560,07844.

Відповідь: 1) 0,000375; 2) 0,07844.

Задача 2.2. Три стрільці незалежно один від одного стріляють по цілі. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,75, для другого – 0,8, для третього – 0,9. Визначити ймовірність того, що а) всі три стрільці одночасно влучать в ціль; б) в ціль влучить хоча б один стрілок.

Розв’язання. а) Позначимо через Р(А) ймовірність влучення в ціль для першого стрільця, через Р(В) – для другого стрільця, через Р(С) – для третього стрільця. За умовою Р(А)=0,75, Р(В)=0,8, Р(С)=0,9.

За теоремою добутку ймовірностей три стрільця одночасно влучать в ціль з ймовірністю

Р(АВС)= Р(А)∙Р(В)∙Р(С)=0,75∙0,8∙0,9=0,54.

б)Ймовірність промаху першого стрільця Р(Ā)=1–0,75=0,25, для другого стрільця – Р( )=1–0,8=0,2, для третього – Р( )=1–0,9=0,1, тоді ймовірність промаху всіх стрільців одночасно

Р( )=Р(Ā)∙Р( )∙Р( )=0,25∙0,2∙0,1=0,005.

Подія, що заключається у влучанні в ціль хоча б одного стрільця, протилежна події Р( ), тому Р=1–Р( )=1–0,005=0,995.

Відповідь: а) 0,54; б)0,995.