Тема: Дискретна випадкова величина. Закон розподілу ймовірностей. Числові характеристики дискретних випадкових величин план

І. Актуалізація опорних знань.

1. Дайте означення випадкової величини. Яка випадкова величина називається дискретною?

2. Яким чином можна задати закон розподілу дискретної випадкової величини?

3. Математичне сподівання та його властивості. Фізичний зміст математичного сподівання.

4. Дисперсія та її властивості. Середнє квадратичне відхилення.

5. Моменти, асиметрія і ексцес дискретної випадкової величини.

ІІ. Розв’язування вправ (непарні задачі).

8.1. Дано ймовірності значень випадкової величини Х: значення 6 має ймовірність 0.35, значення 2 – ймовірність 0.45, значення 8 – ймовірність 0.15, значення 4 – ймовірність 0.05. Побудуйте ряд та многокутник розподілу випадкової величини Х. Знайдіть її математичне сподівання М(Х) та дисперсію D(X).

8.2. Дано ймовірності значень випадкової величини Х: значення 10 має ймовірність 0.3, значення 2 – ймовірність 0.4, значення 8 – ймовірність 0.1, значення 4 – ймовірність 0.2. Побудуйте ряд та многокутник розподілу випадкової величини Х. Знайдіть її математичне сподівання М(Х) та дисперсію D(X).

8.3. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

ξ	10	20	30	40	50
Р	0.2	0.3	0.35	0.1	0.05

Знайдіть функцію розподілу ймовірності цієї випадкової величини, математичне сподівання Мξ і Р{20<ξ≤40}.

8.4. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

ξ	5.1	5.3	5.5	5.7	5.9
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайдіть функцію розподілу ймовірності цієї випадкової величини, математичне сподівання Мξ і Р{1.3<ξ≤1.7}.

8.5. Знайдіть закон розподілу дискретної випадкової величини Х, яка приймає тільки два значення х₁ і х₂, причому х₁<х₂, і відомі ймовірність р₁=0.6 можливого значення х₁, математичне сподівання М(Х)=1.4 та дисперсія D(X)=0.24

8.6. Знайдіть закон розподілу дискретної випадкової величини Х, яка приймає тільки два значення х₁ і х₂, причому х₁<х₂, і відомі ймовірність р₁=0.7 можливого значення х₁, математичне сподівання М(Х)=3.3 та дисперсія D(X)=0.21

8.7. Знайдіть закон розподілу дискретної випадкової величини Х, яка приймає тільки два значення х₁ і х₂, причому х₁<х₂, і відомі ймовірність р₁=0.2 можливого значення х₁, математичне сподівання М(Х)=2.6 та середнє квадратичне відхилення σ(X)=0.8.

8.8. Знайдіть закон розподілу дискретної випадкової величини Х, яка приймає тільки два значення х₁ і х₂, причому х₁<х₂, і відомі ймовірність р₁=0.3 можливого значення х₁, математичне сподівання М(Х)=3.7 та дисперсія D(X)=0.21.

8.9. Тричі стріляють по мішені. Ймовірність влучення приблизно 0.4. Нехай x – число влучень. Знайдіть Dx.

8.10. З усієї продукції, що випускає завод, 95% складають стандартні деталі. Навмання відібрано 6 деталей. Нехай x – число стандартних деталей з шести відібраних. Знайдіть Dx.

8.11. У корзині є чотири кулі з номерами від 1 до 4. Вийняли дві кулі. Нехай x – сума номерів куль. Побудуйте ряд розподілу випадкової величини x.

8.12. Тричі стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі дорівнює 0.3. Нехай x – число влучень. Побудуйте ряд розподілу x.

8.13. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному досліді рівна 0.1. Побудуйте закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досліді.

8.14. У партії з10 деталей є 8 стандартних. Навмання відібрано дві деталі. Побудуйте закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

У задачах 8.15.-8.20. випадкова величина розподілена ξ за законом:

ξ	–2	–1	0	1	2
Р	0.2	0.1	0.3	0.3	0.1

8.15. Обчисліть Мξ.

8.16. Побудуйте закон розподілу випадкової величини 3ξ–1 і знайдіть М(3ξ–1). Порівняйте отриманий результат з 3Мξ–1.

8.17. Побудуйте закон розподілу випадкової величини 2ξ+3. Обчисліть М(2ξ+3). Порівняйте отриманий результат з 2Мξ+3.

8.18. Побудуйте закон розподілу випадкової величини ξ² і обчисліть М(ξ²).

8.19. Побудуйте закон розподілу випадкової величини ξ²+1 і обчисліть М(ξ²+1).

8.20. Побудуйте закон розподілу випадкової величини ξ²–5 і обчисліть М(ξ²–5).

8.21. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х	0	1	2	3	4	5	6	7
Р	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

а величини У таблицею:

У	1	2	3	4	5	6	7	8
Р	1/4	1/8	1/16	1/16	1/16	1/16	1/8	1/4

Знайдіть математичне сподівання випадкових величин ξ=Х+У, η=Х–У, λ=ХУ, де Х і У – незалежні випадкові величини.

8.22. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х	0	1	2	3	4	5	6	7
Р	1/4	1/8	1/4	1/16	1/16	1/8	1/16	1/16

а величини У таблицею:

У	1	2	3	4	5	6	7	8
Р	1/4	1/8	1/16	1/16	1/8	1/16	1/16	1/4

Знайдіть математичне сподівання випадкових величин ξ=Х+У, η=Х–У, λ=ХУ, де Х і У – незалежні випадкові величини.

8.23. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

ξ	2	4	6	8
Р	0.4	0.3	0.2	0.1

Знайдіть початкові й центральні моменти перших чотирьох порядків цієї випадкової величини, а також визначте асиметрію і ексцес.

8.24. Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини:

ξ	1	3	5	7	9
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайдіть початкові й центральні моменти перших чотирьох порядків цієї випадкової величини, а також визначте асиметрію і ексцес.

8.25. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу в мішень. Ймовірність попадання в мішень для першого стрільця р₁ для другого р₂. Випадкова величина ξ – сумарне число влучень в мішень. Знайдіть закон розподілу ξ, визначте її математичне сподівання Мξ і дисперсію Dξ.

8.26. З корзини, яка містить 4 синіх і 6 білих куль випадковим чином і без повернень виймають три кулі. Випадкова величина ξ – число синіх куль у вибірці. Знайдіть закон розподілу ξ, визначте її математичне сподівання Мξ і дисперсію Dξ.

8.27. З корзини, яка містить 6 синіх і 4 білих куль випадковим чином п’ять разів підряд виймають кулю, причому кожен раз витягнуту кулю повертають в корзину і перемішують. Випадкова величина ξ – число синіх куль у вибірці. Знайдіть закон розподілу ξ, визначте її математичне сподівання Мξ і дисперсію Dξ.

ІІІ. Домашнє завдання (парні задачі).

Практичне заняття №9