- •1.Классификации сред по отношению к электромагнитному полю
- •2.Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах
- •3.Уравнение баланса мгновенных значений мощности
- •4 Волновые уравнения Общий случай
- •Монохроматическое поле
- •Комплексный вектор Пойнтинга (вывод уравнения, объяснить слагаемые).
- •Векторный и скалярный электродинамические потенциалы (определение, назначение). Электродинамические потенциалы Общий случай
- •7.Уравнение баланса мгновенных значений мощности (см. Вопрос №3)
- •8. Классификация задач электродинамики. Единственность решения внутренних задач электродинамики классификация задач электродинамики
- •Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики Вводные Замечания
- •. Единственность решения внутренних задач электродинамики
- •2.2.3. Единственность решения внешних задач электродинамики
- •9 Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности.
- •10. Излучение электромагнитных волн (теоретическое объяснение, простейшие системы, излучающие электромагнитные волны).
- •11.Элементарный электрический вибратор
- •5.3. Анализ структуры электромагнитного поля элементарного электрического вибратора
- •5.3.1. Деление пространства вокруг вибратора на зоны
- •12. Деление пространства вокруг ээв на зоны. Напряженность электрического и магнитного полей ээв в ближней зоне.
- •5.3.3. Ближняя зона
- •13.Напряженность электрического и магнитного полей ээв в дальней зоне. Структура электромагнитного поля ээв в дальней зоне. Волновое сопротивление среды.
- •Вопрос 14. Диаграммы направленности (дн). Пространственная, мери-дианальная, экваториальная дн. Нормированная дн. Дн ээв
- •15. Комплексный вектор Пойнтинга, электромагнитная энергия, мощность излучения поля ээв. Сопротивление излучения. -Комплексный вектор Пойнтинга
- •-Мощность излучения элементарного электрического вибратора
- •-Сопротивление излучения
- •-Система координат, связанная с ээв
- •18. Элементарная рамка с током (эр). Поле эр в дальней зоне. Мощность излучения, дн эр. Действующая высота эр.
- •19 Элемент Гюйгенса (эг). Система координат, связанная с эг. Электрическое и магнитное поле эг в плоскости yoz. Дн эг в плоскости yoz.
- •20 Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности.
- •6.1.4. Волны в проводниках
- •6.1.5. Затухание волн
- •6.1.6. Глубина проникновения
- •23. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред (преломление, отражение волн, законы Снеллиуса, коэффициенты отражения и прохождения световой волны).
- •24 Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина (вывод и запись условия).
- •25 . Явление поверхностного эффекта
- •26. Направляющие системы ,виды направляющих систем. Виды э-м волн в направляющах системах.
- •28. Прямоугольный волновод (форма, геометрические параметры волновода, критическая длина волны, индексы m и n, пример рисунка структуры поля в волноводе).
- •29.Основная волна прямоугольного волновода
- •30.Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи
- •31. Круглый волновод Вывод формул для поля
- •10.2.2. Токи на стенках круглого волновода
- •10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу
- •32. Общие свойства объемных резонаторов
- •11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах
- •11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний
- •11.1.4. Добротность объемных резонаторов
- •11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов
- •11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем
- •Коаксиальный резонатор
- •Прямоугольный резонатор
- •11.2.5. Цилиндрический резонатор
- •33 Проходной резанатор
1.Классификации сред по отношению к электромагнитному полю
Свойства среды по отношению к электромагнитному полю определяются параметрам
проводимость среды
Если эти параметры зависят от величины поля то линейная среда, а если хотя бы 1 параметр зависит от величины поля то среда является нелинейной.
Линейные среды делятся на 4 группы
Однородные, где эти параметры не зависят от координат.
Неоднородные, где эти параметры зависят от координат.
Изотропные, свойства одинаковы по всем направлениям.
Анизотропные, свойства различны по всем направлениям.
2.Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах
1 уравнение максвелла в дифференциальной форме: Электрический заряд является источником электрической индукции.
2 уравнение максвелла. Не существует магнитных зарядов
3 уравнение максвелла . Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
4 уравнение максвелла . Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
В том же порядке интегральная форма записи
Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Уравнения максвелла для комплексных амплитуд
3.Уравнение баланса мгновенных значений мощности
Как уже отмечалось в 1.1, электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии.
Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S (рис.1.23). Пусть в объеме V, заполненном однородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в окружающее пространство через поверхность S. При этом должно выполняться равенство
где Рст-мощность сторонних источников; РП-мощность джоулевых потерь внутри объема V; РΣ -мощность, проходящая через поверхность S; W-энергия электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V, a dW/dt- мощность, расходуемая на изменение энергии в объеме V.
В данном разделе будут использованы уравнения состояния (1.53). Эти уравнения не позволяют учесть потери энергии при поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в равенстве (1.120) фактически определяет мощность джоулевых потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.
Уравнение (1.120) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних токов (1.111). Все члены этого уравнения - векторные величины, имеющие размерность А/м2.
Чтобы получить уравнение, аналогичное (1.120), нужно видоизменить первое уравнение Максвелла (1.111) так, чтобы его члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах. Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно умножить на вектор Е, а затем проинтегрировать полученное выражение по объему V. После скалярного умножения на вектор Е получаем
Используя известную из векторного анализа формулу div[E,H]= = Н rot Е - Е rot H, преобразуем левую часть соотношения (1.121) и заменим rot E его значением из второго уравнения Максвелла (1.39):
Подставляя это выражение в (1.121), получаем
В последнем слагаемом в правой части (1.122) изменен порядок сомножителей в скалярном произведении векторов dB/dt и Н. Это допустимо, так как Н dB/dt = дВ/дt· H. Данное изменение не является принципиальным и не дает никаких преимуществ при выводе рассматриваемого здесь уравнения баланса для мгновенных значений мощности. Однако при такой записи во всех членах уравнения (1.122) второй сомножитель (векторы jст, j, BDIdt и Н) является вектором, входившим ранее в первое уравнение Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем (см. 1.8.4) несколько упростить вывод уравнения баланса в случае монохроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности). Интегрируя почленно уравнение (1.122) по объему V, получаем
где направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S. При переходе от.(1.122) к (1.123) использована теорема Остроградского-Гаусса для перевода объемного интеграла от div[E, H] в поверхностный интеграл от векторного произведения [Е, Н]. Введем обозначение
и преобразуем подынтегральное выражение в последнем слагаемом в правой части (1.123):
Подставляя (1.124) и (1.125) в (1.123) и меняя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем
Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (1.126).
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.126). Представим объем V в виде суммы бесконечно малых цилиндров длиной dl, торцы которых (dS) перпендикулярны направлению тока (вектору j). Тогда EjdV = EjdV=(Edl)(jdS) = dUdl = dPn, где dl =jdS - ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно малому цилиндру; dU = Edl - изменение потенциала на длине dl, a dPn -мощность джоулевых потерь в объеме dV. Следовательно, рассматриваемое слагаемое представляет собой мощность джоулевых потерь Рп в объеме V. Используя соотношение j = σЕ, для Рп можно получить и другие представления:
Формулы (1.127) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произвольной формы.
Интеграл в левой части (1.126) отличается от первого слагаемого в правой части только тем, что в подынтегральное выражение вместо j входит jcт. Поэтому он должен определять мощность сторонних источников. Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному полю. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц. Положительным направлением тока считается направление движения положительных зарядов. Ток отдает энергию электромагнитному полю при торможении образующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля Е имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторов Е и jст было отрицательным (E jст <0). При этом левая часть равенства (1.126) будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, определяется выражением
Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (1.126) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеально проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная составляющая вектора Е на поверхности S будет равна нулю. Элемент поверхности dS совпадает по направлению с внешней нормалью n0. Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении (1.126) будет равен нулю, так как нормальная компонента векторного произведения [Е, Н] определяется касательными составляющими входящих в него Векторов. Кроме того, предположим, что среда в пределах объема V не обладает проводимостью ( σ = 0). При этом в рассматриваемой области не будет джоулевых потерь, и первый интеграл в правой части уравнения (1.126) также будет равен нулю. В результате получим
Очевидно, что в рассматриваемом случае мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть равенства (1.129) представляет собой скорость изменения энергии электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответствует слагаемому dW/dt в уравнении (1.126). Естественно предположить, что интеграл в правой части (1.129) равен энергии электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V:
Строго говоря, этот интеграл может отличаться от W на некоторую функцию g = g(х, у, z), не зависящую от времени. Нетрудно убедиться, что функция д равна нулю. Перепишем (1.130) в виде W=WЭ+WМ, где
Предположим, что электрическое и магнитное поля являются постоянными (не зависят от времени). В этом случае, как известно из курса физики (см. также гл.З и 4), выражения (1.131) и (1.132) определяют энергию соответственно электрического и магнитного полей в объеме V. Но это означает, что g = 0 и указанные выражения определяют мгновенные значения энергии электрического и магнитного полей в объеме V при любой зависимости от временила их сумма, определяемая формулой (1.130), действительно равна мгновенному значению энергии электромагнитного поля в объеме V.
Осталось выяснить физическую сущность поверхностного интеграла в уравнении (1.126). Предположим, что в объеме V отсутствуют потери и, кроме того, величина электромагнитной энергии остается постоянной (W= const). При этом уравнение (1.126) принимает вид
В то же время из физических представлений очевидно, что в данном частном случае вся мощность сторонних источников должна уходить в окружающее пространство (Рст = РΣ). Следовательно, правая часть уравнения (1.133) равна потоку энергии через поверхность S (пределу отношения количества энергии, проходящей через S за время Δt при Δt→0), т.е.
Естественно предположить, что вектор П представляет собой плотность потока энергии (предел отношения потока энергии через площадку ΔS, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии, к ΔS при ΔS →0). Формально математически это предположение не очевидно, так как замена вектора П на П1 = П + rot а, где а - произвольный вектор, не изменяет величину РΣ. Однако оно является верным и в частности, непосредственно вытекает из релятивистской теории электромагнитного поля [11].
Таким образом, равенство (1.126) аналогично (1.120) и представляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощности электромагнитного поля. Оно было получено Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтинга. Соответственно вектор П называют вектором Пойнтинга. Часто используют также названия "теорема Умова-Пойнтинга" и "вектор Умова-Пойн-тинга" с целью подчеркнуть тот факт, что формулировка закона сохранения энергии в общей форме с введением понятия потока энергии и вектора, характеризующего его плотность, впервые была дана Н.А. Умовым в 1874 г.
Отметим, что энергия может поступать в объем V не только от сторонних источников. Например, поток энергии через поверхность S может быть направлен из окружающего пространства в объем V. При этом мощность PΣ будет отрицательной, так как положительным считается поток энергии, выходящий из объема V в окружающее пространство (направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S).
Сторонние источники могут не только отдавать энергию, но и получать ее от электромагнитного поля. При этом мощность сторонних источников будет отрицательной. Действительно, электромагнитное поле отдает энергию току проводимости, если оно ускоряет движение заряженных частиц, образующих ток. Для этого вектор напряженности электрического поля Е должен иметь составляющую, ориентированную вдоль линий тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторов Е и jст было больше нуля.
Рассмотрим более подробно формулы, определяющие энергию электромагнитного поля. Подынтегральные выражения в
можно интерпретировать как мгновенные значения объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей соответственно, а их сумму
- как объемную плотность полной энергии электромагнитного поля.
Подчеркнем, что принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию. Действительно, пусть энергии полей E1, H1 и Е2, Н2, существующих по отдельности в области V, равны соответственно W1 и W2. Тогда энергия суммарного поля Е = Е1 + Е2, Н = Н1 + Н2 определится выражением
- взаимная энергия полей. Взаимная энергия W12 может быть как положительной, так и отрицательной. Если векторы Е1 и Е2, а также H1 и Н2 взаимно перпендикулярны, то W12 = 0.
В случае переменных процессов распределение электромагнитной энергии непрерывно изменяется. Это изменение в каждой данной точке можно определить на основе уравнения (1.122), которое удобно представить в виде
где pст =-E jст и pn = Ej-мгновенные значения плотностей мощности сторонних источников и мощности джоулевых потерь соответственно. При переходе от соотношения (1.122) к уравнению (1.136) учтены формулы (1.125) и (1.135). Уравнение (1.136) является дифференциальной формой теоремы Пойнтинга.